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(4) 
Kapitel 4, § 4. 
x, = 
ax + by + c 
dx-\-ey-\-g’ ^ 1 dx-j-ey + g’ 
in denen also die Nenner beider Brüche dieselben sind. Dass diese 
Transformation alle Punkte einer Geraden wieder in die einer Ge 
raden verwandelt, ist leicht zu verificieren : Die Punkte (x, y) der 
Geraden 
y = xx -(- m 
werden in Punkte (x x , y } ) übergeführt, für die 
(a -f- hv.) x -f- hm -j- c Qi -{- Jck) x -f- km -j- l 
Xl (d -f- ev.) x -f- em -|- g ’ {d -f- ev) x -J- em -f- g 
ist. Durch Elimination von x folgt hieraus für den Ort der trans 
formierten Punkte (x x , 2/j) die Gleichung: 
(d -f x x — (a -f- hx) (em + g) x x — (hm -}- c) 
(d + ex) y x — Qi -f hx) (em + g) y x — Qcm + l) 
Dieselbe ist linear in x x , y x , denn die quadratischen Glieder x i > Vi 
heben sich gerade weg. Sie stellt daher ebenfalls eine Gerade dar, 
auf der alle transformierten Punkte Oi, Vi) lie g en - 
Andererseits lehrt diese Betrachtung aber nicht, dass die Trans 
formation (4) die allgemeinste ist, welche alle Punkte einer beliebigen 
Geraden wieder in die Pünkte einer Geraden überführt. Dies entnehmen 
wir vielmehr, wie gesagt, aus der projectiven Geometrie. 
Die Transformation (4) ist die identische, wenn a, g und Je gleich 1, 
alle anderen Constanten gleich 0 sind. Wünschen wir eine infinitesi 
male projective Transformation zu erhalten, so haben wir also den 
Constanten a, g und Ti unendlich wenig von 1, den übrigen Constanten 
unendlich wenig von 0 abweichende Werte zu erteilen. So kommt: 
(1 -)- Sa) x -)- 8b • y -(- de _ dh • x -f- (1 -f- Sk) y -f- 81 
hx + ky -f- l 
= 0. 
X, = 
äd-x-\-öe-y-\-l-\-8g' 1 dd ■ x -f- de • y -j- 1 -f- Ö g 
Bis auf unendlich kleine Grössen höherer Ordnung ist aber bekanntlich 
1 
1 — dd - x — de ■ y — dg 
ö d • x —j— S c • y —j- 1 —]— 8 (j 
und daher kommt: 
x x = [(1 + da)x + dh • y -f de] [1 — dd • x — de • y — dg], 
y x = \dh ‘ x -f- (1 + die) • y -f- dl] [1 — dd • x — de ■ y — dg], 
oder, wenn man ausrechnet und die unendlich kleinen Grössen zweiter 
Ordnung nicht mehr berücksichtigt, 
x x = (1 — dd • x — de • y — dg)x -\- da • x -\- dh • y de, 
y 1= = (\ — dd • x — de • y — dg) y dh • x + dh • y -j- dl, 
d. h. x und y erhalten die Incremente: