2. Die geodätischen Gurven einer Fläche, deren Bogenelement auf die Form 
ds = / F dx dy — У F. y'. dx 
gebracht ist, sind nach den Regeln der Yariations-Rechnung bestimmt durch die 
Gleichung 
S ffFj'.dx = 0, 
oder durch die aequivalente Differential-Gleichung 
d(VjVV) _ ± <i(VFV7)_ 0 
dy dx dy' 
die durch Ausführung die Form, 
( F_y _ , d(logF) _ , 2 d(log F) 
d,x 2 . d,x d dy 
annimmt. Um die folgenden Rechnungen zu vereinfachen, setzen wir 
lo gF=Wj 
und also wird 
ds = e l |/?/ . dx 
die Form des Bogenelements und 
d 2 у , dw dw 
■ dx 2 = У dx ~~ У dy 
die Differential-Gleichung der geodätischen Gurven. 
3. Sollen daher die geodätischen Gurven einer Fläche die inf. Punkt-Trans 
formation gestatten, so ist nach Nummer 1 dazu erforderlich und hin- 
' dx 1 1 dy ° 
reichend, dass die Gleichung 
d 2 rj 
dx dy 
, d 2 j 
У dx 2 
2y' 
d 2 'e 
dx dy 
d 2 у 
d 2 £ 
w 
I d l 
\dy 
dl 
dx 
d 2 w 
dx dy 
d 2 w\ 
Fy 2 ] 
d l I _ / d J 
dx t d dy d (l x 
„j2 d| \ [dw _ о ,dw\ 
У dy I \ dx * dy I 
stattfindet. Aber diese Gleichung zerlegt sich da c, r/ und w nur von x und y ab- 
hängen, in die vier folgenden: 
Ö / O