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§ 4. 
Der Fall — 0, d '‘ ^ 0. Die dritte Flächen - Classe. 
dy 7 dx 
Ich behandle jetzt den Fall 
• l ? , o ,h . 0 
i/y 5 dx 
nnd zeige, dass man immer die Coordinateli cc und y derart wählen kann, dass die 
bemerkenswerthe Form 
e"-+ V) + V{ x — Vf) . 
erhält. Dabei sind die Grössen ip nnd W, deren jede nur von einem Argumente 
abhängt, bestimmt durch gewöhnliche Differential-Gleichungen, die ich allerdings 
nicht integriceli kann, während ich mehrere bemerkenswerfche Particnlarlösungen ge 
funden habe. 
9. Die Bedingungs - Gleichungen (4) 
(4) 
2 
d 2 y 
drj die 
— 0 
dx 2 
dx dx 
) 
dy 2 
d£ dw 
dy dy 
=r(), 
1 
d 2 rj 
dx dy 
d 2 £ 
dx 2 
, d 2 w 
s dx 2 
- Tj 
d 2 w 
dx dy 
-f2 
drj 
dx 
die 
dy 
dw 
dx 
dl 
dx 
d 2 Ç 
dx dy 
_l As 
, . d 2 ic 
£ . 
‘ ~ dx dy 
+ v 
d 2 w 
dy 2 
— 2 
dl 
dy 
dw 
dx 
■ dw 
drj 
dy 
0, 
gestatten auch jetzt eine erste Integration. Die beiden ersten Gleichungen geben 
nehmlich 
dH 
(21) 
>'wS 
X{x) 
dy 
wo, wie wir zeigen werden, X und Y gleich 1 gesetzt werden können. 
Wir führen neue Variable x und y' ein. Es ist 
dx dx' dx , 
^"dY dt ~~ dx’ * 5 
7] 
dy dy' 
dy’ dt 
dy 
dy’ 
*) Liouville hat bekanntlich gezeigt, dass die geodätischen Curven einer Fläche, deren Bogen 
element auf die Form 
ds 2 — [tp(x -|- y) -f- ‘^(x — y)] dx dy 
gebracht ist, bestimmt werden können. (Vergleiche Liouvilles Ausgabe von Monge s Applications d’a- 
nalyse à la Géométrie p. 579).