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Es handelt sich also darum eine Gleichung der Form
L + Myj" 4i//' /2 — 2 ip'ip"' = 0
zu integriren. Ich setze ip' — z, ip" = u und betrachte u als eine unbekannte Funk
tion von 2. Es ist ip'" = u ^ , und also kommt
L-\-Mu + iu 2 = Zzu * ,
dz 2 u du
z L -(- iJ/w 4w 2
welche Gleichung sich unmittelbar integriren lässt. Hierdurch wird ip" bestimmt als
Funktion von -*//, etwa ip" = F[ip'), also kommt
womit ip' bestimmt ist. Hiernach findet man ip" durch Differentiation. Wenn die
Constanten L und M allgemeine Werthe haben, so würde die zwischen ip' und ip"
gefundene Relation sich nicht aufiösen lassen. Es ist indess möglich diese Schwierig
keit zu vermeiden, worauf ich jedoch nicht näher eingehe.
Man sieht somit, dass die Annahme X' = ax 1 Y' = ay wirklich eine hierher
gehörige Flächen-Categorie liefert, die sich durch Quadratur bestimmen lässt. Es ist
übrigens leicht zu erkennen, dass man ohne Beschränckung a = 0 setzen darf.
Zu bemerken ist, dass man eine beliebige Lösung ip' von (26,1) mit einer be
liebigen Lösung W von (26,2) verbinden kann. Insbesondere kann man *F" —K
= Const. setzen, indem diese Annahme wirklich (26,2) identisch befriedigt. Die ent
sprechenden Flächen sind Rotationsflächen, deren geodätische Curven somit zwei infi
nitesimale Transformationen gestatten.
Es wird sich später (§ 5,’№ 12) ergeben, dass die hiermit gefundenen Flächen
eine wohl definirte Unterabtheilung der dritten Glasse bilden. Später bestimmen wir
einige weitere Flächenfamilien, die der dritten Classe angehören, und welche sich
dadurch charakterisiren lassen, dass sie zugleich der ersten oder zweiten Classe an
gehören.
§ 5.
Bestimmung der geodätischen Curven.
Wenn die geodätischen Curven einer Fläche eine oder mehrere inf. Transfer-
mationen gestatten, so vereinfacht sich immer die Bestimmung der geodätischen Cur
ven. Gehört insbesondere die Fläche meiner zweiten oder meiner dritten Flächen-
Classe, so verlangt jene Bestimmung nur Differentiation und Quadratur, in gewissen
merkwürdigen Fällen sogar nur Differentiation.
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