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ß(w) — 5 *'+4- 
ay ' dx 
— tp{y) = — c x = Const.; 
also kommt 
Hieraus folgt die Existenz einer Relation der Form 
t+ x- h=füy) 
wo die Grösse die eine Lösung sein soll, eine absolute Constante sein muss. Für 
eine Fläche zweiter Classe sind somit die Losungen I und niemals unabhängig. 
Die Bestimmung der geodätischen Curven einer Fläche, die auf eine Spiral 
fläche abwickelbar ist, reducirt sich nach meinen allgemeinen Theorien leicht auf die 
Integration einer gewöhnlichen Differential-Gleichung erster Ordnung. Diese Gleichung 
scheint jedoch nur in specieilen Fällen integrirbar zu sein. 
§ 6. 
Die Form der Transformations - Gruppe. 
Ich gehe jetzt dazu über, alle Flächen zu bestimmen, deren geodätische Cur- 
ven mehrere inf. Transformationen gestatten. Diese Transformationen bilden in jedem 
einzelnen Falle eine Gruppe. Daher kann ich mich auf meine allgemeine Theorie 
der Transformations-Gruppen stützen (Göttinger Nachrichten 1874, № -22, Archiv 
for Math, og Naturv. Bd. I. und III). Andererseits stütze ich mich auf Untersuchungen 
von Beltrami und Schläfli, nach denen die geodätischen Curven immer dann und nur 
dann durch eine lineare Gleichung dargestellt werden können, wenn die betreffende 
Fläche constantes Krümmungsmaas besitzt. Eine solche Fläche lässt sich daher derart 
auf eine Ebene abbilden, dass ihre geodätische (Kurven die Geraden der Bildebene 
werden. 
Indem ich diese beiden Theorien verbinde, gelingt es mir in diesem Paragraph 
zu beweisen, dass die Transformations-Gruppe der geodätischen Curven nur dann mehr 
als drei Parameter enthalten kann, wenn die Fläche constantes Krümmungsmaas be 
sitzt. Mit den Flächen von constantem Krüramungsmaase brauche ich mich nicht näher 
zu beschäftigen. Denn nach Beltrami’s und Schläfli''s soeben citirten Untersuchungen 
gestatten ihre geodätischen Curven jedenfalls eine achtgliedrige Gruppe, die durch 
passenden Coordinatenwahl die lineare Gruppe der Bildebene wird. Und nach mir 
können sie keine mehr umfassende Gruppe besitzen, da die lineare Gruppe der Ebene 
in keiner mehr umfassenden Gruppe dieser Ebene enthalten ist.