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wo .statt w die Grösse ax -(- log’ dflx— y) zu setzen ist. Dies giebt 
(x — y) (jy 
ax 
m, 
sodass a — 0 und 
, 4> = K(x — y)' 
W X — y 
sein muss. Hieraus füesst der Satz. 
Die Rotationsfläche, deren Bogenelement die Form 
(29) ds 2 — K(x — y) m dx dp 
besitzt, und die auf sie abwickelbaren Flächen sind die einzigen, deren geodätische 
Gurven zwei conforme inf. Transformationen gestatten. 
Das Krümmungsmaas dieser merkwürdigen Fläche ist gleich 
K 2 
(x — y)™+ 2 
Ist daher m = — 2, so ist das Krümmungsmaas constant, sonst aber nicht. 
16. Soll die Fläche (29) noch eine dritte inf. Transformation i(x)p + r t (y)q 
gestatten, so müssen sowohl die drei Transformationen jo, xp, £p, wie die drei Trans 
formationen r/, yq, jjq eine dreigliedrige Gruppe bilden. Also können wir (Archiv 
for Math., Bd. I., pg. 57) setzen: £ = x\ r/ = y 2 ] und diese Werthe müssen in (5) 
eingesetzt werden. Dies giebt 
dy 
wo e w — (x — y) m zu setzen ist. Also kommt 
2x~\-x 2 . - 
o 
2 /7t> / \ ^ i o 7/6 o / /6 
x -y-y T~y=yy)i 2 U+ X x=r v = 
2 (* — y) = <p(y) —/(»)) = f(x) = B—2x 
=/(*) 
(2 -\-m){x -\-y) = B, 
woraus folgt, dass m =— 2 sein muss. Aber dann hat die Fläche constantes Krüm 
mungsmaas. Also 
Ausser der Flächen mit constantem Krümmungsmaase giebt es keine Fläche, deren 
geodätische Gurven mehr als zwei conforme infinitesimale Transformationen gestatten. 
Verlangt man, dass das Bogenelement der Fläche e w = {x — y) m nicht allein 
bei der Transformation^?-)-^, sondern auch bei der Transformation xp -)- y q inva 
riant bleiben soll, so findet man (§ 2, n. 5) dass m = — 2 sein muss. Dies liesse sich 
übrigens unmittelbar daraus schliessen, dass eine Fläche, die sich in zwei Weisen in 
sich ohne Ausdehnung verschieben lässt, constantes Krümmungsmaas haben muss.