Interpolationsformeln. 
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§ 2.] 
Indem wir hier: 
F{z) = Q 0 + Qi (* — «i) + Ö2 0 — »i Y + Ö 3 0* — «i) 2 0 — «2) 
+ öi(* —«i) 2 (* —«s) 2 
setzen, erhalten wir die fünf Gleichungen: 
Qo = /’(«1)7 = fOi); Öo + Qi («2 — «1) 4- Ö2O2 — a if = fi a *), 
Qi 4* 2$ 2 (a 2 —«,) 4- ö 3 («2 — «i) 2 =/"(«2); 
Öo 4" öi (% — a i) + öa(% — a i) 2 
+ Ö3 («3 — a iY Qh — «2) 4- Ö4 («3 — «i) 2 (% — « 2 ) 2 
aus denen sich successive: 
f{<h) — f («1) — («» — «1) /’'(«i) 
= /*Os) 7 
öo — /'Oh) 7 öi — / ( a i) 7 Ö2 
ös — 
/■(« s) 
(«2 — o,)* 
(a a — oQ { + r(«»)} 4 2{/~(«i) — A<OI 
(a 2 — a,) 3 
Ö4 = 
1 (3a t — a 2 —2 a 8 )/•(«,) (3« 2 — n, —2a 3 )f(a.,) 
(«3 - «»)* («s — «2)* («3 — «l)*(«2 — «l) S («3 — «*)*(«! — «») ? 
/■'(Ol) 
/■'(«*) 
(«2 — i»l)* («8 — «l) («1 — «2)* («3 — «*) 
ergiebt. 
Bei einer solchen successiven Bestimmung der Coefficieuten 
öo 7 öi > ö 2 7 •••7 Qn—l 
überzeugt man sich leicht davon, dafs den Bedingungen (2) eine 
und nur eine ganze Function F{z) von (n — l) ,em oder nie 
drigerem Grade genügt. 
Denselben Bedingungen (2) genügen zwar noch viele andre ganze 
Functionen F(z)-, diese sind jedoch nicht vom («—l) ten , sondern von 
höherem Grade. 
Die Differenz zwischen irgend einer solchen Function und der nach 
der angegebenen Regel gebildeten ganzen Function F(z) mufs durch 
(0 — — a 2 )“* • ■ • (* — a m )*m 
teilbar sein. 
Folglich hat man zur Bildung der ganzen Function F(z) möglichst 
niedrigen Grades nur irgend einen allgemeinen Ausdruck einer ganzen 
Function (n — l) ten Grades von z zu nehmen und dann die Coefficienten 
dieses Ausdruckes aus den Bedingungen (2) zu bestimmen. 
Zur Erläuterung des Gesagten wollen wir einige specielle Fälle 
genauer betrachten. 
Erster Fall (die Taylor’sche Formel). 
Es sei: 
ni — 1; = n; a x = a. 
1*