Erstes Kapitel.
[§ 2.
In diesem Falle reduziert sich das System (1) auf eine Colonne;
zur Bestimmung von F(z) haben wir also die Bedingungen:
F(a) = f (a); F\a) = f\a); . . .; F^~'\d) = /■<—«(«).
Nach der Taylor’schen Formel erhalten wir somit:
(,s — ay
(5)
F{?) = /■(») + ^ /» + O)
Zweiter Fall (die Lagrange’sche Formel).
Es sei:
m — n; a i — cc 2 — ■ • • = cc m — 1.
Hier reduziert sich das System (1) auf eine Zeile; dementsprechend
haben wir zur Bestimmung der Function F{z) die Bedingungen:
F(a t ) = f{a x ); F(a. 2 ) = f(a 2 ); .. .; F(a m ) = /*(««).
Mit Benutzung der Formel von Lagrauge erhalten wir also:
F(z) — Z i f(a 1 ) -f- Z 2 f(a 2 ) + • • • + Z m f(a m ),
worin:
{z — a x ) (« — a. 2 ) ... (0 — a m ) = a(e),
7 «(*)
1 (z — a { ) m'(a { )
Dritter Fall.
Es sei:
cc 1 — cc. 2 — •■•== a k = 2; «yt-f-i = «t+2 — •••== a m — 1; h m — n.
Das System (1) reduziert sich auf zwei Zeilen; wir erhalten also
für die Function F{z) die Bedingungen;
F K) = /■(«,), • ■ •, F(a k ) = f(a k ), F(a k+l ) = f{a k+1 ),F (a m ) = f{a m ),
F\aj)=f (a,) r • •, F\a k ) =f\a k ).
Wir bilden nun zuerst die Function:
F 0 (/) = Z x f{a^) Z 2 f(a 2 ) + • • • + Z m f(a m )
co{z)
wobei;
Z t
(z — a.) co' (a f )
und:
(2 — a m )
(6)
«(*) = (z — a x ) (z — a 2 ) .
ist; dann setzen wir:
F{t) = F„{*) + m (»)•«(*).
Hier ist @(0) eine unbekannte ganze Function von die folgenden
Bedingungen genügen mufs:
№1) ^ @ K)7 / '(«2) = + »W ®(«a) , • • •,
/■'(«*) = F 0 ’(a t ) -f w'(«*)©(«*),