Full text: Differenzenrechnung

Erstes Kapitel. 
[§ 2. 
In diesem Falle reduziert sich das System (1) auf eine Colonne; 
zur Bestimmung von F(z) haben wir also die Bedingungen: 
F(a) = f (a); F\a) = f\a); . . .; F^~'\d) = /■<—«(«). 
Nach der Taylor’schen Formel erhalten wir somit: 
(,s — ay 
(5) 
F{?) = /■(») + ^ /» + O) 
Zweiter Fall (die Lagrange’sche Formel). 
Es sei: 
m — n; a i — cc 2 — ■ • • = cc m — 1. 
Hier reduziert sich das System (1) auf eine Zeile; dementsprechend 
haben wir zur Bestimmung der Function F{z) die Bedingungen: 
F(a t ) = f{a x ); F(a. 2 ) = f(a 2 ); .. .; F(a m ) = /*(««). 
Mit Benutzung der Formel von Lagrauge erhalten wir also: 
F(z) — Z i f(a 1 ) -f- Z 2 f(a 2 ) + • • • + Z m f(a m ), 
worin: 
{z — a x ) (« — a. 2 ) ... (0 — a m ) = a(e), 
7 «(*) 
1 (z — a { ) m'(a { ) 
Dritter Fall. 
Es sei: 
cc 1 — cc. 2 — •■•== a k = 2; «yt-f-i = «t+2 — •••== a m — 1; h m — n. 
Das System (1) reduziert sich auf zwei Zeilen; wir erhalten also 
für die Function F{z) die Bedingungen; 
F K) = /■(«,), • ■ •, F(a k ) = f(a k ), F(a k+l ) = f{a k+1 ),F (a m ) = f{a m ), 
F\aj)=f (a,) r • •, F\a k ) =f\a k ). 
Wir bilden nun zuerst die Function: 
F 0 (/) = Z x f{a^) Z 2 f(a 2 ) + • • • + Z m f(a m ) 
co{z) 
wobei; 
Z t 
(z — a.) co' (a f ) 
und: 
(2 — a m ) 
(6) 
«(*) = (z — a x ) (z — a 2 ) . 
ist; dann setzen wir: 
F{t) = F„{*) + m (»)•«(*). 
Hier ist @(0) eine unbekannte ganze Function von die folgenden 
Bedingungen genügen mufs: 
№1) ^ @ K)7 / '(«2) = + »W ®(«a) , • • •, 
/■'(«*) = F 0 ’(a t ) -f w'(«*)©(«*),
	        
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