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14 Zweites Kapitel. [§ 5. § 5. 6.] 
Aus dieser Gleichung läfst sich leicht die noch allgemeinere: Add] 
A tt +Pf{z) = A n A^f{z) sich leicl 
ableiten, in der « und ß beliebige positive ganze Zahlen bedeuten. 
Jetzt können wir zeigen, dafs sich die Coefficienten der Newton’- ^ 
sehen Formel nur durch constante Factoren von den Gliedern der 
ersten Zeile in Tabelle (17) unterscheiden; es ist nämlich: 
n j}' n J f( a ) n . ^V(«) r ¿ 3 f(a) 
{jr o T\ a )f i .h ’ 1X2 1.2h s ’ Ua 1,2.3.7t 3 ‘ ’ 
Neivtorisc 
/*(») “/’(«) + - 
, (.r—a)(a:- 
All diese Gleichungen sind als specielle Fälle in folgender Gleichung 
enthalten: 
¿ l f(n)=f(t + hh)— |fti + (i-l)A) + ^=%(2 + (A-2)*)---- 
+ (-l)Y( a ), (19) 
in welcher li eine willkürliche, positive, ganze Zahl bedeutet. 
Was die Gleichung (19) anbetrifft, so ist es leicht, sich für li = 1 
und Ti — 2 unmittelbar von ihrer Richtigkeit zu überzeugen; es ist 
nämlich: 
— f{a + h) — fi'z) 
Af(z + /.) = f{i + 2h) - f{z + h) 
¿VW = ¿f(> + h) - Af(z) = f{z + 2h) - 2/(* + h) + f(t). 
Ferner aber müssen diese Gleichungen, sobald sie für irgend einen 
Wert von k: 
1c — m 
worin £ 
kleinsten 
bedeutet. 
§6. 
leicht ah 
f{a-\-nh] 
eine Fon 
sehen Fo 
Zu t 
gelten, auch bei Vermehrung von li um 1 ihre Gültigkeit behalten, 
da in diesem Falle: 
=/(*+ (»» + 1) /1) — f(z -f mh) + "W f(*+ m — D*) 
-*>**+«* 2 )*)... 
A m + 1 f(z) = A m f\z -f- /i) — A m f{z) 
=/'(«+(m+l)Ä)-(”+l)/'( i! +».A)+Y(’V+iy(2+im-l)t)-- 
-K i ) .+.“<'“- i i V M -*' +1) (r4 : ;+i)№+(» »)+-k i)»+№) 
—1)Ä) /(>-fm/t)+ ( f{z + {m 1 )h) ... 
•••-K-i)” + YW 
ist. 
folgende 
/(* + 2* 
die Form 
Durc 
für alle ] 
f(z-\-nh 
und 
Af(z-\-nh 
durch Ad 
ist.