§ 5. 6.] 
Endliche Differenzen verschiedener Ordnungen. 
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Addiert man also zu Je immer eine Eins hinzu, so überzeugt man 
sich leicht von der Richtigkeit der Formel (19) successive für: 
Je = l, 2, 3, ... 
d. h. allgemein für jeden positiven ganzen Wert von Je. 
Mittels der somit bewiesenen Formel (19) können wir die 
Newton’sehe Formel mit dem Restgliede in die Form bringen: 
(.x — a){x — a — h) 
1.2 h* 
, (x—a\x—a—h){x—a—2/t) ^ , t (x—a){x—a—h)...{x—a—(n—l)/t) 
+ 1.2.3A S ^ IW+- ■+ 1.2...nh’ 
(x—a)(x—a—h)...{x—a—nh) 
1.2...(« + !) 
4 n f(a) 
/ (n+1) (£), 
(20) 
worin £ wieder eine mittlere Zahl zwischen der gröfsten und der 
kleinsten unter den Zahlen: 
bedeutet. 
a, a -f- nh, x 
§ 6. Aus der Newton’schen Formel (20) läfst sich nun weiter 
leicht ableiten: 
f(a + nh)=f(a)+ ”.//-( 0 ) + "- ( ^z>Y(«)+ ,,(W ~ 1 f ä V/~(a)+- 
h Y A n ~ l f{a) + A n f{a), 
eine Formel, die man auch unmittelbar, unabhängig von der Newtou’- 
scheu Formel, beweisen kann. 
Zu diesem Zwecke leiten wir aus den Formeln: 
f\z + h) — f{z) = Af\z) 
f{z + 2/t) — f(z -f- h) — Af{z -f- h) 
/Jf{z + h) — Af{z) = A 2 f(z) 
folgende ab: 
/0 + h ) = A» + A f(ß) 
Af{z + h) = Af(z) + A-f(z) 
f{z-\-2h) = f(e -f- /t) -f- Af{z + h) = f(%) + ^Af(z) + ^ 2 f(z), 
die Formel (21) auf diese Weise für n — 1 und n — 2 verifizierend. 
Durch fortgesetzte Addition von 1 zu n können wir sie wiederum 
für alle positiven ganzen Werte von n erweitern, da wir aus: 
f{z4-nh) =f{z) + J Af(z) + n( - n i ~ 1) Y(s)4 1-A n f\z) 
Af{e+nh)= Af{z) 4- y A “A*) H t" i A " fi. 3 )+ An+1 M 
durch Addition leicht folgende Gleichungen ableiten können: