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Um die Konvergenz der Taylorschen Reihe zu prüfen, d. h. 
um zu untersuchen, ob ihre unendlich vielen Glieder eine endliche 
Summe geben, ist dieselbe auf folgende Form gebracht worden: 
f(x + h) = f(x) + \ . f(X) + y f' (X) + ... + f- 11 (X) + R . 
Darin bedeutet R das sogenannte Restglied, nämlich die 
Summe aller Glieder, die noch auf die ersten n folgen. 
Um das Restglied zu bestimmen, gehen wir von folgender 
Funktion aus: 
232) F(u) = f(u) + . f(u) + f» + 
, (b U)"~‘ j(n —1) (ß) 
+ 
(n — 1)1 
Durch Differentiation erhält man 
d F (u) 
du 
= f (u) + [- f (») + f" (u)] + 
+ [- { " (u) + • { "‘ (u) ] + 
[ 
(b — u) n 2 f(n - 1) 
(u) 
(b — u)‘ 
(n) 
(u)] • 
(n —2)! A 1 (n — 1)! 
Auf der rechten Seite dieser Gleichung fallen alle Glieder 
weg bis auf das letzte, daher ist 
dF(u) (b-u) 11 - 1 (n) 
du ~ (n — 1)! 
Aus dieser Gleichung erhält man wieder durch Integration 
zwischen den Grenzen a und b 
F (b) - F (a) = j ^--~ U ijT f( ’" (u) ' cl “• 
Die Werte von F (b) und F (a) erhält man aus Gleichung 232), 
nämlich: 
F (b) = f (b) und 
F (a) = f (a) -f ^ . f' (a) -f ^ + + 
-f- ——*)- f (n — 1) (a), daher ist 
(n — 1)! 
12* 
(a), daher ist