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ii _ 
f< "’ <“> ■ d u = f(b ) - f(a) — b ~=^ ■ f (a) - 
(h — a ) 2 f „ M (b-a)"- 1 
2! ‘ W (n — 1)! ‘ (a) ’ 
daraus folgt 
f (b) = f (a) + . f (a) + ^—2 f» + + 
+ JnZ^j)T { (a) +J-(n^=T)y f (u)du ‘ 
a 
Substituiert man nun in dieser Gleichung 
a = x und b = x -j- h, 
so erhält man 
f(x -f h) = f(x)-f ~ . f (x) + ~f'(x) -f -f 
11 1 X + h 
b f (n_]) f(x "h 1' — 111 f (Q) , ^ 
+ (Snri) ! - i W + J (n _ | ): - f (“) du 0(1 « 
X 
233) . f(k + h) = f(x) + f(x) + W + + 
1 11 — 1 
| ** f( n — *) / v \ i ü 
^(n — l)! f ( X ) + R - 
Durch diese Gleichung ist der Taylorsche Satz aus 
gedrückt, den wir nun auf eine zweite Art abgeleitet haben. Gleich 
zeitig haben wir auch einen Ausdruck für das Restglied gefunden. 
t? (■ (x -)- h — u) n 1 (n) 
R — 1—(n — 1)! f (u)du - 
X 
Um das Restglied in eine für die Anwendung bequemere 
Form zu bringen, wenden wir auf das Integral den einfachen Mittel 
wertsatz an (Formel 213); wir erhalten (nach Cauchy): 
234) ... K = f (») (x + eh) . o < 8 < 1. 
In anderer Gestalt wurde das Restglied von Lagrange auf 
gestellt. Man erhält dieselbe durch Anwendung des erweiterten 
Mittelwertsatzes, indem man nach Formel 214) setzt: