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c) Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern kann nur 
dann konvergent sein, wenn ihre Glieder sich dem Grenz 
werte Null nähern. Diese Bedingung genügt jedoch noch nicht, 
um die Konvergenz einer Reihe zu verbürgen; es ist dies eine not 
wendige aber nicht hinreichende Bedingung. 
d) Sind u n und u n + i zwei aufeinanderfolgende Glieder 
u n + i 
der Reihe und nähert sich der Quotient 
mit unbe 
schränkt wachsendem n einem Grenzwerte, der kleiner 
als 1 ist, so ist die Reihe konvergent; ist dieser Grenzwert 
größer als 1, so divergiert die Reihe. 
Ist nämlich 
lim - n 1 - <Ü 1. 
so wird schon von einem im endlichen Bereiche gelegenen Gliede, 
z. B. dem k tcn angefangen, das Verhältnis Uk +1 kleiner sein als 
u k 
die Einheit; man wird daher jedenfalls auch einen echten Bruch a 
angeben können, für welchen folgende Ungleichheiten bestehen: 
- Uk +1 < a oder Uk + i <C a Uk . 
Uk 
Uk + 2 
Uk + 1 
< a, d. h. iik + 2 <C a • Uk + i, daher umsomehr Uk + 2 <C u k , 
^-t- 3 < a, d. h. Uk + 3 < a . u k 4 2, daher umsomehr u k 4. 3 <C a 3 Uk, 
Uk + 2 
usw. 
Durch Summierung erhält man; 
Uk + 1 -j- Uk + 2 -j~ Uk + 3 ~h <C Uk (a -j- a- -j- a 3 -{- ) 
a 
oder Uk + 1 -j- Uk 4 2 -f~ Uk 4 3 -j- < u k • ^ 
Die Summe der unendlich vielen Glieder, vom (k -)- l) ten Gliede 
angefangen, hat somit einen endlichen Wert; die Reihe ist daher 
konvergent. 
Eine analoge Untersuchung führt zu dem Schlüsse, daß die Un 
gleichung lim Un " 1_1 >> 1 ein Merkmal für die Divergenz der Reihe ist. 
11 = 00 u H 
e) Falls lim 
Un 1 
= 1 ist, so gibt die vorige Konvergenzregel 
keinen Aufschluß. In diesem Falle benütze man folgende Regel;