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Aus den Gleichungen 396) erhält man jene Werte Von x und y. 
durch welche z ein Maximum oder Minimum wird. 
Ob der gefundene Wert von z ein Maximum oder Minimum 
ist, wird oft aus der Natur der speziellen Aufgabe entschieden 
werden können; wenn dies jedoch nicht möglich ist, so muß der 
zweite Differentialquotient untersucht werden. Differenziert man 
3 z 
daher Gleichung 395) und beachtet dabei, daß „ 
CX 
tionen der beiden Größen x und v sind, so erhält man 
und Tr- Funk 
er 
397) 
d 2 z 
d t 2 
d- z 
zi v2 
+ A-?"(t)+[ 
Lc x 
9 2 z 
<9x 9. 
?'(t) 
09 
C L Z 
— — 
cxc y 
-•^(t) + T4 
y °T 
■ (t)] ?' (t) -f 
'(t)]-f(t) 
S z 
o 
Sy 
r(t). 
Zwei Glieder dieses Ausdruckes fallen mit Rücksicht auf die 
Gleichungen 396) weg; der übrig bleibende Ausdruck kann wie folgt 
umgestaltet werden: 
c x" 
№(t)] s 
Zit r. 
O 9 
r -V* 
2 + 2 
c - z 
• ?' (t) • (t) 
c y 
PP 2 z 
cp'(t) 
<? 2 Z cp'(t) <? 2 Z, C 2 Z 
L 9 x 2 
^(t) 
c °x5y i'(t) 9 x 2 cy 2 
io 
N 
<P'(t) 
+*]■- 
<? 2 z 9'- z / P 2 z V 2 | 
19 x 2 
<i>'(t) 
5 x 2 C y 2 V.cxc’y/ 
9 2 z 
19 x 2 
Ist dieser Ausdruck positiv, so ist z ein Minimum, ist er 
negativ, so ist z ein Maximum. Es ist daher vor allem notwendig, 
daß dieser Ausdruck unabhängig von den willkürlichen Größen 
cp' (t) und (t) ein bestimmtes Vorzeichen habe, wenn z ein Ma 
ximum oder Minimum sein soll. Dies ist nur dann der Fall, wenn 
398) 
c x- 
.£_(,££)’> o 
9 Vxc'y/ 
ist. Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist dann unbedingt 
d 2 z 
positiv und -j—^ hat unabhängig von cp' (t) und <{/(t) dasselbe Vor- 
9 2 Z . o*2 z 
Zeichen wie 7. Dasselbe Vorzeichen muß aber auch ~—s haben; 
c x- dy2