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Komplexe 
Wurzeln. 
Zeichen 
folgen und 
Zeichen- 
wechsel; 
Anzahl der 
positiven, 
negativen 
und 
komplexen 
Wurzeln. 
Mehrfache 
Wurzeln. 
Bei Betrachtung’ der Kurven k und 1 (Fig. 146 und 147) muß man sich 
außer den in der Zeichnung ersichtlichen reellen Schnittpunkten mit der Ab 
szissenachse noch so viele imaginäre Schnitte vorstellen, daß die Gesamtzahl 
aller Schnitte dem Grad der Gleichung gleichkommt, weil eine Gleichung n ten 
Grades n Wurzeln hat. So ein imaginärer Schnittpunkt entspricht einer komplexen 
Wurzel, d. i. einer Wurzel von der Form p —q K —— f oder p —q i, worin i = Y— 1 
die imaginäre Einheit bedeutet. 
Da eine Gleichung ungeraden Grades stets eine ungerade Zahl reeller 
Wurzeln hat und eine Gleichung geraden Grades stets eine gerade Zahl reeller 
Wurzeln, so können die eventuell vorhandenen komplexen Wurzeln nur in gerader 
Zahl Vorkommen. Es läßt sich leicht beweisen, daß wenn p -j— q i eine Wurzel der 
Gleichung ist, auch p — qi eine Wurzel der Gleichung sein muß. Diese beiden 
Wurzeln bilden ein Paar konjugierter Wurzeln. Die betreffenden Wurzel 
faktoren sind (x — p — q i) und (x — p —q i). Deren Produkt ist ein quadratischer 
Ausdruck mit reellen Koeffizienten, nämlich 
(x - p — q i) (x — p -f q i) = (x — p) 2 — q s i 2 = (x — p) 2 + q 2 = 
= x 3 — 2 p x + (p 2 -f- q 2 ). 
Die Aufeinanderfolge von zwei gleichbezeichneten Gliedern einer Gleichung 
nennt man eine Zeichenfolge, die Aufeinanderfolge zweier ungleich bezeichneter 
Glieder einen Zeichen Wechsel. 
Eine Gleichung f (x) = 0 hat höchstens so viele positive Wurzeln als Zeichen 
wechsel (Descartes). Die Gleichung hat höchstens so viele negative Wurzeln als 
die Gleichung f(—x) = 0 Zeichenwechsel hat. Wenn lauter reelle Wurzeln Vor 
kommen, so gibt die Zahl der Zeichenwechsel des Gleichungspolynoms f (x) be 
ziehungsweise des Ausdruckes f (— x) direkt die Zahl der positiven und nega 
tiven Wurzeln. 
Es ist selbstverständlich, daß die beiden Gleichungen 
f (x) a 0 x i r —j— a t x 11 t _j— 2 ~|— .... —|— an — 0 
und f (— x) = a 0 x n — a! x n — 1 -f- a 2 x n — 2 — . . . . + a n = 0 
die gleichen, nur entgegengesetzt bezeichneten Wurzeln haben. 
Die Anzahl der positiven Wurzeln kann (bei Vorhandensein komplexer 
Wurzeln) um eine gerade Zahl kleiner sein als die Anzahl der Zeiehenwechsel. 
Wenn nur ein Zeichenwechsel vorkommt, so hat die Gleichung unbedingt 
eine, und zwar nur eine positive Wurzel. 
Fehlt in einer Gleichung eine gerade Zahl k aufeinanderfolgender Glieder, 
so sind mindestens k komplexe Wurzeln vorhanden. Fehlt dagegen eine ungerade 
Zahl k aufeinanderfolgender Glieder, so sind mindestens (k -f-1) oder (k — 1) 
komplexe Wutzein vorhanden, je nachdem die fehlende Gruppe innerhalb einer 
Zeichenfolge oder innerhalb eines Zeichenwechsels liegt. 
Enthält eine Gleichung dieselbe Wurzel m-mal, so nennt man diese Wurzel 
vv eine m-fache. Das Gleichungspolynom ist dann 
f (x) = (x — w)® . g (x),