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worin g (x) das Polynom einer Gleichung (n — m)te n Grades vorstellt. Durch Dif 
ferentiation der letzten Gleichung erhält man 
f (x) = (x — w)>n . g' (x) -{- m (x — w)m - 1 . g (x) = 
== (x — w)m - 1 [(x — w). g' (x) + m . g (x)]. 
Der Differentialquotient f (x) enthält also den Wurzelfaktor noch (m — l)-mal. 
Das größte gemeinschaftliche Maß zwischen dem Gleichungspolynom f(x) und 
seinem Differentialquotienten f' (x) zeigt demnach die mehrfachen Wurzeln der 
gegebenen Gleichung an. 
Das größte gemeinschaftliche Maß wird durch Kettendivision gefunden. Soll 
z. B. zwischen den Ausdrücken 
A = 6x‘ — 61 x 3 -f-191 x 2 — 157 x - 58 und B = 2 x 3 — 21 x- -f 70x — 72 
das größte gemeinschaftliche Maß ermittelt werden, so wird zuerst A durch B 
dividiert; dies gibt einen Quotienten und einen Rest Ej. Sodann wird B durch R t 
dividiert, wodurch man den Quotienten Q 2 und den Rest R, erhält. Dann dividiert 
man R, durch R 2 usw., immer den letzten Divisor durch den letzten Rest, bis die 
Division ohne Rest aufgeht. Der letzte Divisor ist das gesuchte größte gemein 
schaftliche Maß zwischen A und B. 
Die Rechnung wird übersichtlich in folgender Art durchgeführt: 
A 
Q, 
6 x 4 — 61 x 3 -f-191 x 2 — 157 x — 58 
6 x 4 — 63 x 3 -f- 210 x' — 216 x 
— + — + 
+ 2 x 3 — 19 x 2 + 59 x — 58 
4- 2 x 3 — 21 x 2 70 x — 72 
+ - + 
R 1 = 2 x 2 — 11x4-14 
2 x 2 — 4 x 
— + 
— 7x4-14 
— 7 x-¡-14 
4- - 
2 x 3 — 21 x 2 -j- 70 x — 72 
2x 3 — 11 x 2 -[■ Hx 
~ ~f~~~ 
— 10 x 2 4- 56 x — 72 
— 10 x 2 + 55 x — 70 
4~ — 4~ 
R 2 = x — 2 
3 x -I- 1 
q 2 
x — 5 
R3 — o 
Die Rechnung ergibt R 3 = 0; daher ist R 2 = x — 2 das größte gemein 
schaftliche Maß zwischen A und B. 
Es ist bei diesen aufeinanderfolgenden Divisionen gestattet, irgend einen 
Dividend mit einer Zahl zu multiplizieren, die in dem zugehörigen Divisor nicht 
enthalten ist, oder irgend einen Divisor durch eine Zahl zu dividieren, die in dem 
zugehörigen Dividend nicht enthalten ist, um Brüche zu vermeiden. Auch wenn 
eine Division zum Teile bereits durchgeführt ist, kann man den übrig gebliebenen 
Teil des Dividends mit einer Zahl multiplizieren, die im Divisor nicht enthalten ist, 
ohne das Resultat zu beeinflussen. 
338. Beispiel. Es ist zu untersuchen, ob die Gleichung 
f (x) = x i; — 10 x 5 4- 40 x 4 — 82 x 3 4- 91 x 2 — 52 x 4- 12 = 0 
mehrfache Wurzeln hat.