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Der auf diese Weise ermittelte Wert von x bildet die kleinste ganz 
zahlige obere Grenze der positiven Wurzeln; sie fällt mit einer 
Wurzel der Gleichung zusammen, wenn die größte positive Wurzel 
eine ganze Zahl ist. 
Die untere Grenze der negativen Wurzeln erhält man als die obere Grenze 
der positiven Wurzeln der Gleichung f(—x) = 0. 
342. Beispiel. Die Wurzeln der Gleichung 
f (x) = 6 x 4 + 12 x 3 — 7 x — 14 = 0 
sind einzuschränken. 
Es ist f (x) = 6 x 4 + 12 x 3 — 7 x — 14, 
f' (x) = 24 x 3 -f- 36 x 2 — 7, 
f" (x) = 72 x 2 + 72 x, 
f'" (x) = 144 X + 72. 
Die kleinste positive Zahl, für welche f'" (x) ]> 0 ist, ist x = 0. Dieser 
Wert macht auch f"(x) + 0; dagegen wird der vorhergehende Differentialquotient 
f'(x) für x —0 negativ. Wir versuchen daher x = 1 und finden hierfür f'(x) + 0. 
Nunmehr übergehen wir zu f (x) und finden, daß dasselbe für x = 1 negativ, da 
gegen für x = 2 poiitiv ist. -j- 2 ist daher die obere Grenze der positiven 
Wurzeln der gegebenen Gleichung. 
Jetzt ermitteln wir die obere Grenze der positiven Wurzeln der Gleichung 
g (x) = f (— x) = 6 x 4 — 12 x 3 + 7 x — 14 = 0. 
Es ist g' (x) = 24 x 3 — 36 x 2 + 7 
g" ( x ) = 72 x 2 — 72 x 
g'" ( x ) — 144 x — 72. 
Die kleinste positive Zahl, für welche g'" (x) + 0 ist, ist x = l. Für diesen 
Wert ist auch g" (x) gerade noch positiv, nämlich g" (x) = 0; dagegen ist g' (1) <0. 
Wir versuchen daher x = 2 und finden g' (2) + 0 und g (2) = 0. Daraus folgt, 
daß x = 2 eine Wurzel und zugleich die obere Grenze der positiven Wurzeln 
der Gleichung g (x) = 0 ist. Die untere Grenze der negativen Wurzeln der 
Gleichung f(x) = 0 ist demnach —2. Da —2 auch eine Wurzel der gegebenen 
Gleichung ist, so können wir letztere durch x -j- 2 dividieren, um aus der resul 
tierenden Gleichung dritten Grades die übrigen Wurzeln zu berechnen. Die Division 
zeigt folgendes Schema; 
6 +12 +0 —7 —14 
— 2 
6 
0 0—7 0 
(Rest) 
Nach Ausscheidung der Wurzel — 2 verbleibt daher die rein kubische Gleichung 
6 x 3 — 7 = 0. 
Diese hat eine 
Bei dieser Gelegenheit soll die Aufgabe gelöst werden, die komplexen 
Wurzeln einer rein kubischen Gleichung 
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