Vielecke im Kreise. 
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Bogen wird offenbar entweder 360° selbst oder ein gewisses Vielfache 
davon, z. B. n. 360° sein. 
Die diesen Bogen zugehörigen Sehnen aber, oder die Vielecks- 
seiten, sind nach dem vorhin Gesagten insgesammt als positiv zu 
betrachten, so wie man auch, ohne die positive Beschaffenheit auf 
zuheben, zu jedem Bogen irgend ein gerades Vielfache von 360° 
hinzufiigen oder davon wegnehmen, und daher die Summe aller 
= n . 360° dr 1p . 360° 
setzen kann. 
Man nehme jetzt bei demselben Vieleck die der vorigen ent 
gegengesetzte Richtung im Kreise für die positive, und bestimme 
danach, wie vorhin, die Bogen AB, BC, ..., MA. Jeder derselben 
wird offenbar die Ergänzung des vorigen zu 360°, und folglich die 
Summe aller m Bogen gleich [m — w)360° sein, zu welcher Summe man 
aus gleichem Grunde wie vorhin das Glied ± 1p . 360° setzen kann. 
Allgemein wird man daher bei einem mEck die Summe der 
Bogen AB, BC, ..., MA, wenn die ihnen zugehörigen Sehnen oder 
Vielecksseiten insgesammt positiv sein sollen, zu setzen haben: 
= [n zt 1p) 360° oder = [m — n dz 1p) 360°, 
wo m die Seitenzahl des Vielecks, n eine von der Aufeinanderfolge 
der Spitzen im Kreise nach einer festgesetzten Richtung abhängige, 
p aber eine beliebige ganze Zahl ist. 
Hier zeigt sich sogleich ein merkwürdiger Unterschied zwischen 
den Vielecken mit gerader und denen mit ungerader Seitenzahl, oder, 
wie wir uns der Kürze wegen in der Folge ausdrücken wollen, 
zwischen geraden und ungeraden Vielecken. Findet sich z. B. 
bei einem vorgegebenen ungeraden Vieleck n gerade (ungerade), so 
stellt nAilp jede andere gerade (ungerade) und m — n ± 1p jede 
ungerade (gerade) Zahl vor. 
Bei einem ungeraden Vieleck kann daher die Bogensumme einem 
geraden sowohl als ungeraden Vielfachen von 360° gleich gesetzt werden. 
Bei einem geraden Vieleck hingegen ist, wenn n gerade (un 
gerade) sich ergiebt, nAzIp sowohl als m — n±1p der Ausdruck 
jeder anderen geraden (ungeraden) Zahl, 
Alle geraden Vielecke zerfallen daher in zwei verschiedene 
Classen. Bei den Vielecken der einen Classe ist die Bogensumme 
einem ungeraden Vielfachen von 360° gleich; und diese Classe heisse 
die erste, weil darin auch die einfachsten Vielecke, wo keine Seite 
der anderen innerhalb ihrer Endpuncte begegnet, begriffen sind. 
Bei den geraden Vielecken der zweiten Classe kann die Bogen 
summe bloss geraden Vielfachen von 360° gleich gesetzt werden.