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wenn man die Grössen O und o durch ... x 2n _! ausdrückt, eine
Integral-Gleichung von P 2 „_i = 0. Also
XVII. Kennt man ein beliebiges System Lösungen h .. . I 2 „_ 3
von A, (4) — 0, A 2 (4>) = 0, und führt man dieselben zusammen mit
zwei von ihnen unabhängigen Grössen als unabhängige Variahein in
Pgn-i = X, dx, -)-••• + X 2n _ 1 dx 2n _!
ein, so nimmt dieser Ausdruck die Form
p k = 2n_3
2 L, (1, ... <H k .
k= 1
Ist hier
p
■ r 2''—3
k=n—1
^ Ol
k = 1
eine Integral-Gleichung von P 2 „- 3
k 2,i—j
^ X k dx k =
...) d« k (Ix...)
= 0, so ist
k = n—1
P X i2 k d« k
k — 1 k=1
wenn man i2 k und « k als Funktionen von Xj ... x 2n _ x ausdrückt, eine
Integral-Gleichung des urprünglichen (2n— \)-gliedrigen Ausdrucks
P 2 n-i = 0.
6. In der vorangehenden Nummer sahen wir, dass die Aufgabe,
ein (2n—l)-gliedriges Problem
X, dxi + ... 4- Xqn-, dx 2n _,
in determinirter Weise auf eine (n—l)-gliedrige Form zu bringen,
sich in zwei Probleme zerlegen lässt; nehmlich 1) in der Bestim
mung der Lösungen zweier linearer partieller Differential-Gleichungen
A x (4) = 0, A 2 (4) = 0, und in der Integration eines gewissen (2n - 3)-
gliedrigen Problems P 2n - 3 = 0. Hierbei ist indess zu bemerken,
dass die letzte Gleichung im Allgemeinen erst dann aufgestellt werden
kann, wenn die gemeinsamen Lösungen von A, (4) = 0 und A 2 (4)
— 0 bestimmt sind. Also können die beiden Probleme, in welche
wir das ursprüngliche zerlegten, im Allgemeinen nicht unabhängig
von einandern formulirt werden. Natani hat gezeigt, dass diese
Mangel sich bei Anwendung der Hauptlösungen beseitigen lässt.
Sind in der That h, .. . h 2 „_ 3 die Hauptlösungen 1 von A, (4)
1 Wir wissen (X), dass man jedenfalls durch eine passende Vertauschung der Grös
sen Xx ... x 2n —i erreichen kann, dass Ax (4) —0, A 2 (4)=0 Hauptlösungen
hinsichtlich x 2n —2 = otan— 2 , x 2 n—1 = aan—1 besitzen.