24. 
beurteilen, wo 
Die Kurven co„ = konst. Die Grenzfalle - = 0, bzw. — = 0. 23 
9 . r o 
9 V 9 
Yon hier aus lassen sich auch leicht die beiden Grenzfälle 
- 1 - resp. — identisch verschwindet. 
r x p 
9 V 9 
Im ersteren Faile, — = 0, ist cosra y =0, also nach (24) auch 
r o 
r f = 0, d. h. der Kreis c„ auf der Einheitskugel K, zieht sich auf einen 
l g 7 (j o e 
einzigen Punkt G zusammen. Demgemäß sind für die ursprüngliche 
Kurve c alle Geraden g parallel mit OG, die Regelfläche (g) wird also 
zu einem Zylinder, und umgekehrt. 
Im zweiten Falle, — = 0, ist cos ao„=r, = 1, so daß die Kurve 
9 g 0*9’ 
c rj ein Großkreis auf der Einheitskugel K e wird; für die ursprüngliche 
Kurve c sind die Geraden g senkrecht zu einer festen Achse, und um 
gekehrt. Damit ist gleichwertig, daß jetzt die Binormalen h y einen Zy 
linder erzeugen, oder auch, daß die Geraden g Normalen eines durch 
die Kurve c gelegten Zylinders sind. Andererseits lassen sich diese 
r 
beiden Grenzfälle — wie übrigens auch der allgemeinere Fall — 
®9 
= konst. — unmittelbar auf Grund der ersten und zweiten Frenetschen 
Formelreihe (IIa),(IIb) diskutieren. Denn das identische Verschwinden 
von —, resp. —, hat gemäß (Ha), resp. (Hb) die Konstanz der a , resp. 
r g ( '9 
der X zur Folge, und umgekehrt. 
Es ist aber auch lehrreich, die Formeln (la), (2) und (9) heran 
zuziehen. Nach (9) verschwindet A g sowohl für — = 0, wie für — = 0; 
in beiden Fällen liegt also g mit den Parallelen durch P zu zwei be 
nachbarten Erzeugenden der Regelfläche (g) in einer und derselben Ebene. 
l dv 
Nun ist nach (2) = schließt man den singulären Fall der 
(imaginären) Minimalkurven ds — 0 aus, so sind die beiden Bedingungen 
— = 0 und dv == 0 gleichwertig. Demnach wird für ~ = 0 die Ebene 
T 9 1 9 
X rj (3) durch P, die außer g (ci g) ß g) y g ) noch eine benachbarte Richtung 
{a y -f- da (J , . . .) enthielt, zunächst derart unbestimmt, daß jede Ebene 
des Büschels durch g eine solche Ebene E g darstellt; unter diesen Büschel 
ebenen gibt es dann eine einzige, die noch eine weitere, zu g benach 
barte Richtung einer Erzeugenden von (g) enthält, so daß für diese Ebene 
die Bedingung zl = 0 erfüllt ist. Ist dagegen, für 
— =j= 0, — = 0, so 
T 9 
tritt jenes Unbestimmtwerden von 2 ;/ = 0 nicht ein, sondern 2 g enthält 
von vornherein zwei zu g benachbarte Richtungen der gedachten Art. 
Alles dies gilt auch im komplexen Gebiet. Hierbei weist aber 
der erstere Fall, — 0, eine spezifische Eigenschaft auf.