Die Formeln (Ä), (B), (B*) für die Abstände d, e t -, e r 
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Subtrahiert man die mit cos v multiplizierte zweite Relation (8) von 
der ersten, so hat man: 
(9) e i sin 2 t> = UzJx { (cc { — a k cos v). 
Diese Darstellung von bedarf indessen für die späteren Anwendungen 
auf Differentialgeometrie einer geeigneten Umformung, wie sie in der 
Fläch entheorie häufig yorgenommen wird. Da ¿a 2 = Uccl = 1, £aicc k 
= cosi;, so wird der Reihe nach: 
cc, — ec* cos v = cCiUal — a k 2ccittk 
= tCi{ßl + yl) — cckiß/ßk + 7iy k ) 
= ßk{“ißk— «kßi) ~ a iYk), 
oder, mit Rücksicht auf (6): 
(10) a i — cc k cos v = sin v (,ß k v — y k [i). 
Setzt man dies in (9) ein, so hebt sich beiderseits der Faktor sinu 
fort, und es entsteht die zweite Hauptformel: 
(B) 
e, sin v = 14x it cc k , X \ = | x k — x if cc k , l\ , 
und analog für e k : 
(BO e Ä sinv= 4x t , cc i} X\ = \x k —x i , cc i} X\. 
Die Formeln (A), (B), (B') hätten sich übrigens auch unmittelbar, 
die beiden letzteren mit Übergehung der Zwischenrelation (9), durch 
direkte Auflösung der Gleichungen (4) nach d und e { resp. e k ergeben. 
Die bisherigen Entwickelungen bleiben auch für das komplexe Ge 
biet gültig und versagen dort nur dann, wenn die Richtung von d in 
eine Minimalgerade fällt, so daß A 2 +g 2 -f v 2 =0 (ohne daß X, g, v 
sämtlich einzeln verschwinden) und d = 0 wird. 
29. Die Formeln (A) und (B) sollen nunmehr insbesondere auf 
den Fall zweier benachbarter Geraden g des § 1 (Nr. 2) angewendet 
werden, so daß die Bezeichnungen entsprechend abzuändern sind. 
Dann wird P i irgend ein Punkt P{xyz) = P(s) einer Raumkurve 
c, P k ein auf c dem Punkte P im Sinne des wachsenden Bogens s 
beiden Bedingungen 
äs 2 
de. 
0, 
ad 2 
de. 
= 0; da aber 
Mi, 
de, 
ML 
de. 
gehen die beiden Bedingungen über in Sa i A^ i =Q y Za k A0, d. s. aber die 
beiden Relationen (8). Da die Aufgabe nur eine einzige Lösung besitzt, so liefert 
diese für d ein Minimum. Umgekehrt, geht man von (8) aus, so geht (8) mit Hilfe der 
stets gütigen Beziehungen (4) über in UXcCj—0, Zlcc k = 0, also ist (8) damit gleich 
wertig, daß die Richtung des kürzesten Abstandes d auf denen der beiden gegebenen 
Geraden g k senkrecht steht.