§ 50. Die Methode von Tschirnhausen. 
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Die Bedingungen für das gleichzeitige Verschwinden irgend 
zweier Glieder, z. B. des m ten und r ten , werden sein 
jy»~ i] = 0, [v r “ 1 ] = 0. 
Da diese Gleichungen bezüglich v und u von demselben Grade 
sind, so ist die Resultante in v oder u im Allgemeinen vom 
(m — 1) (r — l) ten Grade. Um also das zweite und dritte Glied 
der Transformirten zum Verschwinden zu bringen, hat man eine 
quadratische Gleichung zu lösen, um das zweite und vierte zum 
Verschwinden zu bringen, eine kubische Gleichung u. s. f. 
Wenn z. B. das zweite und vierte Glied verschwinden soll 
so hat man zu setzen: 
[#S «'] = 0, [<«=>] = 0, 
also mit Rücksicht auf die exacte Form der Gleichung in y: 
nv — {au — a 2 -{- 2&) = 0, 
Bv — C = 0. 
Eliminirt man v, so erhält man die Resolvente dritten Grades: 
[{n — 1) {n — 2)a s — 3n{n — 2) ab -{- 3n 2 c\u d — 3[(w — 1) {n — 2)a 4 
— 2{n — 2){2n — 1 )a 2 b + 2n{2n — 3)ac -)- 2n{n—2)b 2 — 4n 2 cl\u 2 
-j- 3[{n — l)(w — 2)a 5 — {n — 2)(5n — 4)a B b + 5n{n — 2)a 2 c 
-f- (n — 2)(5n — 4)ab 2 —n{6n — 4)ad — n{5n— 12)bc + 5n 2 e]u 
— i( n — l)( n — 2)a 6 — 6{n — 1 ){n — 2)a 4 6 + 6n{n — 2)a 3 c 
-j- 3n{n—2){3n—4)a 2 & 2 —6n{n—2)a 2 cl— \2n{n— 2)abc—2{n—2){n—4)& 8 
-f- 3n 2 c 2 -J- 6n(n — 4)bcl -(- Qn 2 ae — 6n 2 f] = 0 . 
Die beiden Bedingungsgleichungen werden sehr vereinfacht, 
wenn a — 0 ist, also bereits vor der Transformation das erste 
Zwischenglied fehlt. Dann ist nämlich, abgesehen von den sonstigen 
Reductionen der Bestimmungsgleichungen, v von u unabhängig und 
nv {a 2 — 2b) = 0; 
Wenn das dritte und vierte Glied der Transformirten zum 
Verschwinden gebracht werden soll, so hat man zu setzen 
\v 2 , u 2 ] = 0, \y 3 , u 3 ] = 0; 
führt man die exacten Formeln ein, so erhält man 
Bu — 0 = 0.