§ 51. Elimination von drei Zwischengliedern. 
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x n -j- ax n ~ l -f- bx n ~~ 2 t — 0 
kann immer auf die Form: 
y n + Dy n - 1 + Ey n ~ 5 -1- [- T = 0 
gebracht werden und zwar bedarf es hierzu nur der Auflösung 
einer kubischen Gleichung*). 
Zum Beweise dieses wichtigen Theorems gehen wir aus von 
einer Eigenschaft der homogenen quadratischen Functionen. Jede 
homogene quadratische Function von k Variabein lässt sich immer 
als die algebraische Summe der Quadrate von eben so viel homo 
genen Linearfunctionen darstellen, wobei die erste Function A; Va 
riable und jede folgende eine Variabele weniger enthält als die 
vorhergehende. Bei drei Variabein u, v, iv hat man z. B.: 
Au 2 -j- Bv 2 -j- Civ 2 -j- 2Duv -f- 2Euw -f- 2Evw 
= (A'u -f B'v + C'iü f + (A"u -f B"vf + (A'"iif. 
Um dies nachzuweisen, sei die quadratische Function der h Va 
riabein 0 i} 0 2 , 0 3 .. . 0 k ausgedrückt durch: 
V k = F(e l} 0 i} ... 0 k ) • 
Dieselbe lässt sich zunächst auf die Form 
Vk — Bz k 2 + 2Q0 k + B 
bringen, wo P eine Constante, Q eine homogene lineare Function 
der übrigen h — 1 Variabein und B eine homogene quadratische 
Function derselben ist. 
Gibt man der Gleichung die Form 
r t = = v + n_i, 
so erkennt man, dass Vk aus dem Quadrate einer linearen Function 
Lk aller 1c Variabein und aus einem Reste besteht, der eine homo 
gene quadratische Function der übrigen k— 1 Variabein 0i, 0 2 •••**-1 
bildet und deshalb mit Vt—i bezeichnet werden kann. Von Vk—i 
gilt nun dasselbe wie von Vk; es ist analog 
Vk 1 === Lk—1 "l - Vk—2 , 
wo L k — i eine lineare Function der Variabein 0 1} 0 2 . . . 0k—i, V k —2 eine 
homogene quadratische Function von z 1} 0 2 ... 0k—2 bezeichnet. Durch 
Fortsetzung dieser Schlüsse gelangt man schliesslich zu der 
Gleichung 
*) Die Transformation und Auflösung der Gleichungen fünften Grades. 
Nach Jerrard und Hermite. Zeitschr. f. Math. u. Phys. IV, S. 81 folg. 1859.