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Zweiter Abschnitt. Transformation der Gleichungen. XII. 
j_ raJi 
2 [dd\ 
~d£ 
de 
= b(c -J- 2A) — acl = Q, 
— a(c — X) — b‘ 2 — P 2 , 
und setzt A = 0, so lässt sich das Quadrat der Invariante durch 
die nämliche Function ausdrücken, wie sie selbst. 
Setzt man nämlich 
a=p, c — l = p x , e=p. 2 , 
d = !, c-\-2X = q i , b = q 2 , 
so ist 
Ja, 3 — 
und 
r2 
PP1P2 + 2q q x q 2 — p q 2 — p t q x — p 2 & 
1 = 0, 
J. 
a,3 
PP X P 2 + 2Q Q x Q 2 -PQ 2 - P x Q 2 - P 2 Q 2 
1 = 0. 
Dieser Satz rührt ursprünglich von Lagrange her. 
Die cjuadratischen Invarianten kommen nur bei den Polynomen 
von geradem Grade 2m vor. Ihre Gleichung ist 
J 2 m, 2 — 
>•+(7) 
CT 
1 /2 m 
+ 4 ^U 2 . 
Ihre partiellen Differenzialquotienten mit abwechselnden Vor 
zeichen genommen liefern die Coefficienten des Polynoms. 
Jede Gleichung von ungeradem Grade 2m -f- 1 hat eine biqua- 
dratische Invariante 
\at — a t bs -f- a 2 cr • •] 2 
+ a r g 0 + • • • + «m • kl) 
1 
J2m+1, 4 
wo Jim die quadräl von 
2 To -f- 1 ^ dx 
dU 
d U\ , 
) und 
Ji' m die quadratische Invariante von ^ bedeuten, 
a r und a,._i abgeleitet werden müssen aus den Formeln 
= 2m — 1 
(2 m. — r -f- 2) tt r —i — 2 f ■ 
Dieselbe Invariante lässt sich auch schreiben in der Form 
,^+1 dJ'