§ 55. Covarianten. 
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= «! X + ß t Y, y = a 2 X + ß 2 Y, 
so ist 
(ciß) X = ß 2 x ß 1 y ; (aß') Y — (cc 2 x a l y'). 
Differenzirt man diese Gleichungen partiell nach x und y, also 
so erhält man wegen 
0_Z7 0Eh.0X.0i7i 8Y 
dx dX dx ' d Y dx 
dJJ dUi dX.dUi dY 
dy d X' dy ‘ dY ’ dy 
die Relationen 
+A^)- 
+ A(^)' 
d_U 
dy ' 
ÖÜ\ 
- dy 
Demnach sind mit Ausnahme des constanten Factors (ccß) 
3TJ dU 
und — ^ auf dieselbe Art transformirt, wie x und y, wenn 
man die linearen Substitutionen damit vergleicht. Hat man also 
die beiden Polynome n ten Grades 
U, = f(X,r), 
so hat man ebenfalls 
dü\ _ f /dU l dUX 
dx) ' \dY ' dx)’ 
und die rechte Seite dieser Gleichung ist eine Co Variante von U. 
Dabei hat man zu beachten, dass in der Entwickelung der Term 
x r y n ~ r bei der Differenzirung den Werth 
d n U 
{dxf(dyf~ r 
liefert. Es soll die Theorie durch einige Beispiele erläutert werden. 
1. Beispiel. Gegeben sei 
/\ 
TJ — ax -j- by = (a, b) (x, y). 
Die Transformirte ist 
TJ l = (aa 1 -}- baß) X -f- (aß 1 -J- bßß) Y.