§ 55. Covarianten. 
145 
■ b dUJ_ vu_ 
dy - oyöx 
-f c? 
g 2 V 
0 
nacli einander an. Die Variabein verschwinden nicht und man er 
hält zwei Covarianten, nämlich, nachdem man durch 6 dividirt hat, 
2(ac — b 2 )x -f- (ad — bc)y — C 3> i 
und 
(ad — bc)x -j- 2(bd — c 2 )y = C' 3>1 . 
Wenn man auf einPolynom von ungeradem Grade eine Deri vir ten- 
function anwendet, die von der Function selbst abgeleitet, also vom 
selbigen Grade ist, so verschwindet die Invariante oder Covariante 
identisch. Die Polynome von geradem Ordnungsexponenten geben 
dabei stets eine quadratische Invariante. Dass die kubische Function 
noch zwei Covarianten mehr hat, wird weiter unten gezeigt werden. 
4. Beispiel. Es sei das Polynom biquadratisch: 
U = (a,b, c, d, e) (x, i/) 4 . 
Man wende die Derivirtenfunction 
d 4 U , d 4 ü . r d 4 U . , d*U .8 4 Z7 
a dy 4 d y 3 dx' C dy 2 dx 2 ( dy dx 3 0 dx 4 
an, da die nächstniedrigere nichts liefert. Man findet eine Invariante, 
nämlich die quadratische 
Ji, 2 = ae — Abd -f- 3c 2 . 
Wenn man die quadratischen Invarianten durch die partiellen 
Differenzialquotienten ausdrückt, durch welche sie aus dem Poly 
nome abgeleitet werden, so erhält man neue Derivirtenfunctionen, 
welche zur Auffindung neuer Covarianten derselben oder höherer 
Ordnungen verwendet werden können. So ist z. B. 
J 2 , 2 = ac — b 2 = 
d 2 U d 2 U 
dx 2 dy 2 
Ji, 2—ae —A.bd -f- 3c 2 = 
d 4 U d 4 TI 1 g 4 ü 
dx 4 dy 4 dx 3 dy 
d 4 U o / d 4 U y 
dx dy 3 ' \do!‘ i dy 2 J 
Die erste dieser beiden ist die sogenannte Hesse’sche Function. 
Es mag hinzugefügt werden, dass das Polynom seine eigene Co 
variante ist. 
§ 56. Von der Bildung der Covarianten ans den Invarianten. 
Covarianten lassen sich aus den Invarianten durch partielle 
Differenzirung ableiten, wie an einigen Beispielen gezeigt werden soll. 
Matthiessen, Grundzüge d. ant. u. mod. Algebra. 10