§ 60. Auflösung binomischer Gleichungen. 
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sämmtliche Wurzeln der beiden reducirten Gleichungen unmöglich, 
also entweder imaginär oder complex von der Form 
a + ß . 
Da die Hauptgleichung in der Form 
x n = l, x = Y1 , 
geschrieben und aufgelöst werden kann, so werden die n Wurzeln 
dieser Gleichung • die w ten Wurzeln der Einheit genannt. Die n te 
Wurzel der positiven Einheit hat demnach einen reellen Werth 1 
und n — 1 complexe Werthe. 
Theorem. Alle Wurzeln der Gleichung 
x n —(— 1 = 0 
sind unmöglich, ausgenommen eine, wenn n ungerade ist. 
Ist nämlich n gerade, so ist einleuchtend, dass weder ein po 
sitiver noch ein negativer Werth von x das Binom verschwinden 
lassen. Ist n ungerade, so kann man die Gleichung durch den 
Binomialfactor x -f-1 dividiren, so dass eine Wurzel x 1 den reellen 
Werth —• 1 hat und die gegebene Gleichung reducirt wird auf 
n — 1 gerade, x n ~~ x — x n ~~ 2 -f- x n ~ :3 — • • • — #+1=0. 
Diese Gleichung kann erstlich keine negative Wurzel haben, 
weil sie für x eingesetzt alle Glieder positiv machen würde; zweitens 
kann sie keine positive Wurzel haben, weil die Stammgleichung 
auch keine dergleichen hat. 
Fassen wir die drei reducirten Gleichungen zusammen, so bilden 
sie zwei Formen, nämlich 
x im + x? m ~ x + x 2m ~ 2 + ... + 1=0, 
x 2m + x 2m ~ 2 + x 2m ~ 4 -1 (-1 = 0. 
Diese sind sämmtlich von gerader Ordnung und lassen sich in 
lauter reelle quadratische Factoren von den Formen resp. 
x 2 — yx + 1, # 4 — yx 2 + 1 
zerlegen, wenn man substituirt resp. 
I 1 2 I 1 
x -*r — = y > x \ x * — y * 
Die Gleichung in y wird deshalb lauter reelle Wurzeln haben. 
Ist nun a eine complexe Wurzel der Gleichung 
x n — 1=0, 
dann ist auch a m eine Wurzel, wo m eine positive oder negative