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Für den Fall 0 = 0, also für irgend zwei gleiche Wurzeln der 
x n + 1 = 0, 
nx n ~ 1 = 0 
sein, was unmöglich ist. Deshalb sind alle Wurzeln verschieden. 
Theorem. Sind n und m relative Primzahlen, so haben die 
Gleichungen x n — 1=0 und x m — 1=0 keine gemeinschaftliche 
Wurzel ausser 1. 
Angenommen u sei eine zweite gemeinschaftliche Wurzel, und 
a und b zwei Grössen, welche die Gleichung 
an — bm = 1 
erfüllen, dann wäre a n — 1, a m = 1, folglich auch a an = 1 und 
halten wir 
a an-bm _ l = • 
mithin ist doch« nur gleich 1. Wir gelangen zu demselben Resultate, 
wenn wir den grössten gemeinschaftlichen Divisor der beiden Binome 
aufsuchen; er ist x — 1. 
Theorem. Ist n eine Primzahl, so sind die complexen Wur 
zeln von 
x n — 1 = 0 
übereinstimmend mit den n — 1 ersten Potenzen irgend einer der 
complexen Wurzeln a. 
Es ist oben bewiesen worden, dass wenn a eine complexe 
ganze Zahl ist. Denn es ist a n = 1, folglich auch (u n ) m = 1 oder 
(a m ) n — 1=0, woraus in Vergleich mit der gegebenen hervorgeht 
x = a m . 
Gleicherweise, wenn a eine complexe Wurzel von der Gleichung 
x n -f- 1 = 0 
ist, dann ist auch a m eine Wurzel, vorausgesetzt m ungerade. 
Denn a n = — 1, (a n ) m = — 1 oder (a m ) n —}— 1 = 0. 
Nach § 19 erhält man die Gleichung der quadrirten Differenzen 
der Gleichung x n -)- 1 = 0, indem man x eliminirt, aus der Haupt 
gleichung und der Gleichung XI