§ 60. Auflösung binomischer Gleichungen. 
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der drei Partialgleichungen bekannt sind, so lassen sich daraus 
sämmtliche Wurzeln der Stammgleichung leicht bestimmen. 
Wenn n die Potenz einer Primzahl ist, z. B. n = p 2 , und die 
Wurzeln von 
x p — 1=0 
folgende sind: 
1, a, a 2 , a 3 , ... cc p ~ 1 , 
dann sind diese sowol wie auch 
i, yä, p yä 2 , p yä\. 
Wurzeln der gegebenen Gleichung. Denn es ist 
xP — 1 = (x p f — 1=0, 
und wenn man vorläufig xP = y setzt, also x = Yy, so ist in der 
ersten Reihe jede Wurzel von y und in der zweiten jede Wurzel 
von x enthalten. Da alle Werthe von y aber auch Werthe von x 
sind, so ist die allgemeine Wurzelform a r . Y a*, wo r und s zwischen 
den Grenzen 0 und p — 1 zu nehmen sind. Dies gibt also p 2 
Wurzeln, welche sämmtlich von einander verschieden und also die 
p 2 Wurzeln der Gleichung sind. 
Wenn n = p 3 ist, so ist der allgemeine Wurzelausdruck 
wo a eine Wurzel der Gleichung x p — 1=0 bezeichnet. 
Ist endlich n zusammengesetzt aus Primfactoren und Potenzen 
derselben, z. B. n=p 2 qr, und sind a, ß, yjdie Wurzeln , von 
x p — 1=0, xß — 1=0, x r ■— 1=0, 
so ist die allgemeine Wurzelform 
x — a n . Yccft . ß a . y*. 
Für sämmtliche Variationen dieses Products, welche die n Wurzeln 
der vorgelegten Gleichung sein würden, ist n und q von 0 bis 
p — 1, 6 von 0 bis q — 1, x von 0 bis r — 1 zu nehmen. Hier 
durch ist die Methode der Auflösung der binomischen Gleichungen 
genau festgestellt. 
Wir gehen zu den Methoden über, welche von Gauss und 
Lagrange gegeben worden sind, die binomische Gleichung 
xf 1 — 1=0 
aufzulösen, wenn n eine Primzahl ist.