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Dritter Abschnitt. Particulare Gleichungen. II. 
§ 61. Die Methode der Auflösung binomischer Gleichungen 
nach Gauss*). 
Im Jahre 1801 gab Gauss in seinen berühmten Disquisitiones 
arithmeticae eine eben so originelle als scharfsinnige Methode, die 
Auflösung der binomischen Gleichung x 11 -— 1 = 0, wenn n prim 
ist, auf die Auflösung so vieler Partialgleichungen zu reduciren, 
als die Zahl n — 1 Primfactoren enthält und deren Grade durch 
dieselben Primzahlen ausgedrückt werden. 
So z. B. erfordert die Bestimmung der Wurzeln von x 13 — 1 = 0 
nur die Auflösung zweier quadratischen und einer kubischen Gleichung; 
die Bestimmung der Wurzeln von x Xi — 1 = 0 die Auflösung von 
vier quadratischen Gleichungen. 
Gegeben sei die Gleichung 
x n — 1=0, (n prim). 
Dividirt man das Binom durch x — 1, so bleibt die Gleichung 
vom n — l ten Grade 
x n ~ 1 -f- x n ~ l -J- x n ~ 3 -j- ’ • • -{- x 1 = 0, 
welche lauter complexe Wurzeln enthält. Diese Gleichung drückt 
zugleich die Summe aller Wurzeln der ursprünglichen Gleichung 
aus. Ist nämlich x x eine der complexen Wurzeln, so sind nach dem 
Früheren die übrigen 
x x n ~ x , 1. 
Gauss fasste nun den glücklichen Gedanken, an die Stelle der 
arithmetischen Progression der Exponenten eine geometrische zu 
setzen, ausgehend von dem Fermat'schen Theorem über die Prim 
zahl n, nämlich 
1 (mod n). 
Euler hat bewiesen, dass wenn man alle Glieder der Reihe 
a, a 2 , a 3 , ... a n ~ x , wo a < n ist, durch n dividirt und sich darunter 
Potenzen von a befinden, welche ebenfalls den Rest 1 geben, die 
Exponenten dieser Potenzen notliwendig Factoren von n — 1 sind. 
Um also zu sehen, ob unter den Potenzen, kleiner als der n—l teu 
von a, andere vorhanden sind, welche auch den Rest 1 geben; mit 
*) Gauss, Disquisitiones arithmeticae. 1801. 
Lacroix, Compléments des éléments d’algèbre, pg. 311. 
ïïymers, Theory of équations. § 80.