§ 61. Methode von Gauss. 
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anderen Worten: ob alle Reste der Potenzen von der ersten bis 
zur (n—l) ten verschieden sind, wird es genügen diejenigen Potenzen 
zu prüfen, deren Exponenten Factoren von n — 1 sind. 
Sind alle Potenzreste irgend einer Zahl a verschieden, so ist 
nach Euler’s Bezeichnung a eine primitive Wurzel der Primzahl 
n. Eine solche kann man für jedes n leicht durch Versuche finden; 
in der Regel wird es genügen, die kleinste primitive Wurzel zu 
kennen. So ist z. B. 2 die kleinste primitive Wurzel von 11; denn 
ist E der Exponent, R der Rest der Division durch 11, so ist 
E = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
22 = 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1. 
Die Anzahl der primitiven Wurzeln der Primzahl n ist 
<p(»—o=o—o (i-})(i-})(i-!)••■ 
wo p, q, r, . . . die Primfactoren von n — 1 sind. 
Die Zahl 11 hat im Ganzen vier primitive Wurzeln 2, 6, 7, 8. 
Nach Gauss ist die Anzahl gleich der Anzahl derjenigen Zahlen 
von 1 bis n — 1, welche relativ prim zu n — 1 sind, vermehrt 
um 1. 
Nehmen wir in einem concreten Falle an, es sei n= 11, so 
sind sämmtliche complexe Wurzeln der Gleichung x n — 1=0: 
a, , « 3 , a 4 , ... o: 10 , 
oder auch 
a n—\-\-z lo n, 
wo a irgend eine complexe Wurzel bedeutet. 
Mit Rücksicht auf die Reihen E und R ist nun 
1 z x n — cd, 6 -f- z 6 n = a\ 
2 -f- z t n = a 1 , 7 -f- z 7 n = a 1 , 
3 -f- z 3 n = a?, 8 -f- z 8 U'= a?, 
4 + zpn = a ¿ , 9 -f- z a n = a 6 , 
5 -f- z b n = ad, 10 —(- z 10 n = cd . 
Man kann demnach statt jener Reihe der Wurzeln, deren In 
dices in einer arithmetischen Progression fortschreiten, dieselbe so 
ordnen, dass die Indices nach einer geometrischen Reihe fort 
schreiten, also ohne Rücksicht auf die Reihenfolge der Wurzeln, 
<x a , a , a u , a . . . a a 
Diese Methode hat einen doppelten Vortheil: