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Dritter Abschnitt. Particulare Gleichungen. II. 
7. Beispiel. 
x 19 — 1=0. 
Erste Auflösung: Hier ist n — 1 = 3.3.2 , also p = 3, 
q — 3 , g — 2. Die Auflösung dieser Gleichung lässt sich dem 
nach reduciren auf die zweier kubischen und einer quadratischen. 
Die kleinste primitive Wurzel von 19 ist a = 2 und die Potenzreste: 
%% 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, 11,3,6,12,5,10 (mod 19). 
Zunächst ist p = 3, f = 6. 
Man setze 
X -J- X 8 -j- X 7 -f- X 1S -f- X 11 + % 12 = Vi 7 
X 2 + X 16 -f- X U -f- X 11 + % 3 -}- x b = y 2 , 
a? 4 -f- # 13 + + # 15 + x G -f- a: 10 = y 3 . 
Bildet man die Summe der Combinationen von 2/i ? 2/2^ 2/s zu 
allen Klassen, so erhält man 
Vi + Vi + y-s = — 1 7 
¥1 y-2 + Viy 3 + y* y-s = 6 > 
yi 2/22/3 = — 7 - 
Die Gleichung in y ist demnach 
I.' 2/ 3 + f + 62/ - 7 = 0 . 
Für die Herleitung der kubischen Gleichung in z beachte 
man, dass 
2 = 3, pq = 9 , g = 2 . 
Hieran knüpfen sich die Substitutionen 
• a? -f a; 18 = x -f ~ , a; 2 + x 17 = x 2 + = < , . 
^ _{_ ^11 = ^8 +1 =» * 2 , ad 6 + a: 3 = a: 3 + ^ = 0/ , 
x 7 + x 12 = a: 7 + ^ ; a; 14 + a: 5 = £ 5 + ^ = z 3 ; 
+ a: 15 = a: 4 + ^ = 0"-, 
x 13 -f- # 6 = ^ + ¿ = *2", 
a; 9 _f_ ^10 _ x 9 _j_ _L _ .