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Dritter Abschnitt. Particulare Gleichungen. II.
2 l = 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6 , (mod 11).
t=o
Man setze
y- s a + /3a* + /SV + /3 8 « 8 H-^4« , + /i B « 1 o+/3 8 a 0 +/i ,r «7+/3 8 <i*+/i 9 a 8 ,
wo a* eine complexe Wurzel der Gleichung a 11 — 1=0, ß eine
Wurzel der Gleichung ß xo — 1=0 bezeichnet.
Man bilde die Potenz e = y 10 . Da aber 10 = 2.5, so kann
man die Operation vereinfachen, indem man sie in zwei zerlegt
und zuerst ß als die Wurzel der Gleichung ß 2 — 1=0 betrachtet.
Dadurch wird die Function y reducirt auf
V = Vx + ßV* 1
worin
y^ = cc —j— cc x —J— w' —[— er —(— a 3 ,
y. 2 = a? -f- a 8 -J- ßl ° + cc 7 + u G
zu setzen ist.
Daraus findet man
z = y 2 = (y 2 + y 2 2 ) + 2ßy l y i = m 0 + ßu t .
Entwickelt man diese Ausdrücke und berücksichtigt dass a xx = 1,
so findet man
Vi 2 = + 3&, i/ 2 2 = 2y 2 + 3^ ,
folglich
«o = 5(i/i + i/ 2 ) = — 5 ,
w i = 10 + 4(2/! + i/ 2 ) = 0 >
0 = — 5 4-6/3.
Macht man ß = — 1, so wird z t = — 11 und
Dies sind offenbar die Wurzeln der quadratischen Gleichung
I- y 2 + y + 3 = 0.
Um den Werth a zu finden, betrachte man die fünf Glieder
von y x als die fünf Wurzeln einer Gleichung vom fünften Grade
und ß als die Wurzel von ß° — 1=0. Man hat dann
y' = a + ßa 4 + ß 2 c? + ß 3 a 9 + ß x a 3 ,
und wenn man setzt
*' = y°' = U 0 + ß U l + ßW + ßW + ß\',