§ 63. Goniometrische Auflösung der Binome. 
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verändert wird. Endlich, wenn man die Werthe von x, welche 
denjenigen von Ti — m und n — m entsprechen, betrachtet, so sind 
dieselben immer identisch. Es ist nämlich 
x — cos 
== cos 
2 (n —■ m) 7t , . 2 (n — m) * . / 
— b sin — — y — 1 
n 
2 rmt 
n 
2 rmt 
n 
Sin 
— 2 mit 
n 
-r • 2rmt / zr 
-b sm 1/— 1. 
1 m. " 
= COS 
Man erhält also keine neuen Werthe für 
2 Tut —r- . 2 hn 
x — cos \- sm 
V-i, 
wenn man Ti grösser als 4- n nimmt. 
Hieraus folgt denn, dass für irgend einen positiven ganzen 
Werth von Ti, ausgenommen Null oder y»i, wenn n gerade ist, 
die zwei correspondirenden, gleichweit von 0 und n abstehenden 
Werthe conjugirt complexe sind; ausserdem ist der eine der reci- 
proke Werth des andern, weil man hat 
( 2Jc7t , . 2Ji7t~/ ( 2lcn . 2Jc7t3-\ 1 
cos b sm V — 1 (cos sm V — 11=1. 
\ n 1 n ' J \ n n / 
Ferner ist nach Moivre 
/ 2 hn , . 2kn t\ / 2 7t . . 2 7t / 
cos b sm y— 1 = I cos — + sm — y — 1 ) 
Bezeichnen wir die erste complexe Wurzel 
2 7t . . 2 Tt _ / T 
cos b sm — y — 1 
n 1 n T 
mit a, so ergibt sich daraus die Richtigkeit der bereits in § 60 
gemachten Bemerkung, dass sich alle complexen Wurzeln aus- 
drücken lassen durch die aufeinander folgenden Potenzen der ersten 
complexen Wurzel. 
x 2 , 
x s , 
^4; • • 
• %n-\-1 
oder 
X n , 
2 
¥ 
n—1 
n—2 
= a, 
a 2 , 
.. 
. 
a 2 , 
CO 
+ 
oder 
%n-j- 2 ) • • 
• Xn—2 j 
Xn—1 j 
Xn , 
2 
2 
1 
1 
1 
1 
1 
n—1 r 
71—2 ’ • • 
a 2 * 
a 
Ci ^