§ 63. Goniometrische Auflösung der Binome. 201 
allgemeine Wurzelformel keine neuen Wertlie liefern. Denn nehmen 
wir irgend welche negative ungerade Vielfache von 7t, so bleibt 
der Ausdruck für x derselbe wie für die gleichen positiven Viel 
fachen, und nehmen wir ß>w, so ist dasselbe so viel, als wie 
ein Vielfaches von 27t zum Winkel addiren, wodurch sowol der 
Cosinus als der Sinus unverändert bleibt. 
Setzt man ic gleich einem Werthe, welcher von 0 und n — 1 
gleichweit abstelit, z. B. m und (n — 1) — m, so erhält man die 
selbe Formel wieder. Es ist nämlich 
cos 
2 n — m — 1 
COS 
n 
(2 m -)- 1) it 
7t -f- sin 
+ sin 
2 n—m — 1 
n 
(2m-f-1) 7E 
V- i 
y~i 
n ‘ n 
Bezeichnen wir die erste complexe Wurzel mit a, also 
cos — -f- sin — ]/— 1 = a, 
m 1 nn 1 * 
so ist nach der Moivre’schen Formel 
* = cos 4- sin + V* yz^x _ a+IH-1) ; 
n — n r 
mithin lassen sich alle complexen Wurzeln darstellen durch auf 
einander folgende ungerade Potenzen von a, nämlich 
a, a 3 , 
« 5 , • 
• • a n ~ 2 
oder 
a n ~ x 
~~z o oder 
a n-2 
l 
1 
a*’ 
1 
1 
a 
Weil nun a n — — 1 und 
a 2n = 
-f- 1 ist, 
so kann man statt der 
zweiten Reihe setzen 
a n + 2 oder u nJrl , . . . cc 2n ~ 5 , a 2n ~ 3 , a 2n ~ 1 . 
Sämmtliche complexe Wurzeln der Gleichung x n -j- 1 = 0 sind 
also, wenn n ungerade ist, 
a, a 3 , a 5 , ... a n ~ 2 , a”+ 2 , . . . a 2n ~ 3 , a 2n ~ l , 
und wenn n gerade ist 
a, a 3 , a 5 , ... a n ~ l , u nJ r 1 , . . . a 2n ~ 3 , u 2n ~ 1 . 
§ 64. Zerlegung der binomischen Gleichungen in trinomische 
Factoren. Theorem von Cotes. 
Gegeben sei die Gleichung 
x n — 1=0. 
Man kann je zwei der conjugirten complexen Wurzeln verbinden,