§ 64. Theorem von Cotes. 
203 
zu dem trinomischen Factor 
2 0 (2 lc -j~ 1) JE I i 
x l — 2 cos —— x 4- 1, 
n 1 7 
so erhält man für ein gerades n: 
x n -J- 1 = ^x 2 — 2 cos ~ x -f- 1^ — 2 cos ^ ¿c -f- 1^ • • • 
• • • ^' x 2 — 2 cos ———x -f- 1^ = 0, 
und für ein ungerades n: 
x n -\- l=(x-\-1) ^'x 2 — 2 cos ~~ x -j- l^ic 2 — 2 cos ^ x + 
• • • ^# 2 — 2 cos ^ # + 1^ • 
Cotes lehrte diese trinomischen Factoren zuerst geometrisch dar 
stellen ; wie in § 66 gezeigt werden wird. 
§ 65. Geometrische Deutung und Construction der Wurzeln der 
binomischen Gleichungen. 
Indem wir für eine complexe Grösse a -J- b ]/ — 1 den Aus 
druck r (cos cp -j- sin cp ]/— l) setzen und mit Anwendung des 
Moivre’schen Satzes die Relation 
{a -{- b y— l)” = (r cos cp -f- r sin cp ]/— l) w 
= r n cos ncp -f- r n sin ncp y—- 1 
gewinnen, so liegt darin deutlich ausgesprochen, dass durch die 
imaginäre Zahlengrösse &]/— 1 eine Erweiterung des reellen Zah 
lengebietes — oo, 0, -(- oo postulirt wird und zwar seitwärts. Das 
Zahlengebiet dehnt sich nicht bloss in einer unendlichen Geraden 
aus, in deren Mitte die Null liegt, sondern in einer unendlichen 
Ebene, von welcher die Null das Centrum einnimmt. Um also 
jeder reellen und complexen Zahl die ihr zukommende Position 
zu ertheilen, muss ihr Abstand von zwei rechtwinkligen Coordina- 
tenaxen gegeben sein, wobei die Einheit 1 das Mass für die relative 
Lage abgibt. Bezeichnen nun a und b die beiden Coordinaten der 
Position von a -(- b ]/ — 1, so werden dieselben durch die Substi 
tution r (cos cp -f- sin cp y— l) in Polarcoordinaten verwandelt. 
Dabei bezeichnet r den Radiusvector der Position oder den Abstand 
vom Nullpuncte, auch wohl die Richtungssumme der Zahl a-\- b ]/— 1 
genannt, der Winkel cp den Abstand der Richtung von der reellen