§ 65. Geometrische Construction der Binome. 
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Die complexen, d. h. die eine reelle und imaginäre Grösse 
umfassenden Zahlen, haben ihre Benennung von Cauchy erhalten, 
während Gauss sie „laterale“, Mourey „Richtungszahlen“ 
(nombres directives) nennt. Man ersieht leicht aus dem obigen 
Schema, dass die lateralen Zahlen die vier Quadranten I. II. III. IV 
in indirecter Drehungsrichtung erfüllen. Aus den Moivre'schen 
F ormeln 
(r cos cp -{- r sin cp Y— l)” = r n cos ncp -j- r n sin ncp Y — 1 
und 
1 _1 £ 
(r COS (p r sin cp y l) n — r n COS — -j- r n sin — y— 1 
ergibt sich weiter, dass Potenzirung und Radicirung der Zahlen 
gleichbedeutend ist mit Multiplication und Division des Drehungs- 
winkels ihrer Richtung. Für die Richtungssumme, also den Radius 
vector, ist die Potenzirung oder Radicirung eine unmittelbare, indem 
r n aus r hervorgeht. Z. B. sei 
a + b y~ T = -f 2 + y^T, r = ]/5 . 
Es ist 
(2 +V=T) 2 = 3 + 4V =7 I, r 2 -=5, 
und die neue complexe Zahl liegt in einer Richtung, welche den 
doppelten Winkelabstand von der Axe der reellen Zahlen hat im 
Vergleich zur gegebenen complexen Zahl 2 -f- y1. Das Quadrat 
wird algebraisch durch Potenzirung gebildet oder goniometrisch 
folgendermassen. 
Es sei 2 — r cos cp, 1 = r sin cp, 
so ist r 2 (cos cp 2 -j- sin Cp 2 ) = r 2 == 5. 
Der reelle Theil des Quadrates ist nun 
r 2 cos 2 cp = r 2 (2 cos cp 2 — 1) = 8 — 5 = 3, 
der imaginäre Theil 
r 2 sin 2 cp y— 1 = 2r 2 sin cp cos cpy — l=4y — 1, 
mithin das Quadrat —3 —f- 4 y— 1. 
Da die Richtungssummen sich bei der Potenzirung in geome 
trischem Verhältnisse ändern, während die Winkel dies in arith 
metischem Verhältnisse thun, so liegen sämmtliche Potenzen einer 
complexen Zahl auf einer durch die Grundzahl und die -f- 1 gehen 
den logarithmischen Spirale. Wenn aber aus der Potenzirung der 
complexen Grösse zwei der Grössen