§ 68. Kennzeichen gleicher Wurzeln. 
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gleicher Wurzeln erkennt man an der Beschaffenheit der Differenzen- 
gleichung der gegebenen Gleichung. In § 19 ist gezeigt, dass, 
wenn die gegebene Gleichung 
fix) = 0 
ist, die Gleichung ihrer Differenzen ihren Ausdruck findet in 
f\x) + f W iG +/'"(*) + • • • + = 0 • 
Wenn demnach einer der Wurzelwerthe von s verschwinden 
soll, so muss auch 
f'(x) = 0. 
sein. Folglich hat die gegebene Gleichung gleiche Wurzeln, wenn 
das Polynom f(x) und ihre erste Derivirte einen gemeinschaftlichen 
Factor haben. (Theorem von Hudde.) Dabei können mehrere 
Fälle eintreten: erstlich kann eine Wurzel z. B. x 1 zwei oder mehrere 
Male Vorkommen, die übrigen Wurzeln aber alle untereinander un 
gleich sein; zweitens können ausser x t auch noch andere Wurzeln 
x 2 , x 3 u. s. f. verschiedene Male Vorkommen, so dass man hat 
f{x) = {x — xf) a (x — x 2 y ix — xfy ix — xf) ••• = 0 . 
Es lässt sich nun zeigen, dass in diesem Falle die Derivirte 
immer nur theilbar ist durch 
ix — — x 2 y- 1 (x — x 3 y~ x . 
Es sei die variirte Gleichung 
f(x) = fiy + z) = {y + g — xf) iy -f g — x 2 ) .. . iy + g - x n ). 
Ordnet man nach Potenzen von y, so wird nach § 5 auf der 
linken Seite 
f{y + *) = № + f’(ß) \ + n*) + • • •, 
auf der rechten Seite 
= iß* — ^i) (e — x 2 ) • • • ie — x n ) 
+ [(* ~ ®a) {z—xy>--i2—x n )-\ r iz—xf) (z—x 3 ) ■ • • (g—x n yf -]«/+••• 
Setzt man jetzt die Coefficienten von y einander gleich und 
x an die Stelle von e } so ergibt sich 
fix) = ix —x 2 ) ix — xf) • • ix — X n ) + ' • • -f- ix — xf)ix — xf)-’ix-x n )-\- 
fix —■ xf) ix — xf) - "ix — Xn-1) , 
in welcher Summe von Producten jedesmal ein Factor ix — xf) 
fehlt. Wenn also alle Binomialfactoren verschieden sind, so können