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Dritter Abschnitt. Particulare Gleichungen. V.
Versuche sich auch der Cartesischen Regel zu erinnern hat, dass
hei lauter reellen Wurzeln die Anzahl der positiven Wurzeln gleich
der Zahl der Zeichenwechsel, die Anzahl der negativen Wurzeln
gleich der der Zeichenfolgen ist.
§71. Methode der Ausschliessung der Faetoren des Absolutgliedes,
welche keine Wurzeln sind.
Wenn das Absolutglied viele Primfactoren und zusammen
gesetzte Faetoren hat, so kann man mit Vortheil erst viele Faetoren
als Nichtwurzeln ausschliessen. Zu dem Ende substituiré man in
dem Polynom x = -\- 1 und — 1 und bezeichne die Fehler der
Gleichung beziehlich mit R x und R. 2 . Diejenigen Faetoren von t,
welche positiv genommen um 1 vermindert, kein Mass von R y und
um 1 vermehrt kein Mass von R 2 sind, können offenbar keine
Wurzeln der Gleichung sein. Ebenso sind jene Faetoren, welche
negativ genommen um — 1 vermindert kein Mass von R. 2 und um
— 1 vermehrt, kein Mass von R t , als Nichtwurzeln ausgeschlossen.
Bleiben dann noch mehr Faetoren übrig als es Wurzeln gibt, so
schliesst man weitere Faetoren aus, indem man x = -j- 2 und — 2
setzt u. s. f.
1. Beispiel.
x z — \2x 2 -f- 47# — 60 = 0 ; (3 positive Wurzeln).
60 enthält die Faetoren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
x = + 1 ; /■(+!)= 1 - 12 + 47 - 60 = - 24 = R,;
x = — 1; f{- 1) = - 1 - 12 - 47 - 60 = — 120 = R 2 .
Zunächst ist weder -j- 1 noch— 1 Wurzel, da R t und R.,
von Null verschieden sind. Für die übrigen Faetoren ergibt sich
2—1 Factor von R x ,