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Dritter Abschnitt. Particuläre Gleichungen. V. 
§ 73. Methode der Aufsuchung der Wurzelgrenzen nach Newton. 
Um bei der Aufsuchung der rationalen Wurzeln schneller zum 
Ziele zu gelangen, ohne dass man die Prüfung der Wurzeln und 
Nichtwurzeln auf alle ganzen Pactoren des Absolutgliedes auszu 
dehnen braucht, kann man vorher die obere und untere Grenze 
der Wurzeln annähernd bestimmen. Wir beweisen zu diesem Zwecke 
das folgende 
Theorem. Jede Zahl, welche für x eingesetzt, das Polynom 
f(x) und alle seine Derivirten positiv macht, ist eine obere Grenze 
der positiven Wurzeln, und jede Zahl, welche für x eingesetzt, das 
Polynom f{x) und alle seine Derivirten abwechselnd positiv und 
negativ macht, ist eine untere Grenze aller Wurzeln. 
Um dies zu beweisen, gehen wir aus von der Gleichung 
fix) = f(y + >)- m + /'<» f + rw fl + • • • + r = 0 • 
Ertheilt man der Variation z einen solchen Werth, dass alle 
Coefficienten f(z), f'(z), f"(ß), • • • positiv werden, so muss jeder 
Werth von y negativ sein; d. h. alle Werthe x t — z, x 2 — zu. s. w. 
negativ. Deshalb ist z grösser als die grösste unter den Wurzeln 
00-^ y 00^ • • • 00yi ; und also eine obere Grenze der Wurzeln. Wenn da 
gegen alle Coefficienten abwechselnde Vorzeichen haben, muss y 
positiv sein, d. h. alle Werthe x l — z, x% — z, u. s. w. positiv. In 
diesem Falle ist der betreffende Werth von z eine untere Grenze 
aller Wurzeln. 
1. Beispiel. 
x b — 5x 4 -f- x 3 -f- 1Gx 2 — 20x -f- 16 = 0 . 
Man findet 
f(y -Jr #)= (z 5 — 5z 4 + z 3 -j- lGz 2 — 20,0 -j- 16) 
+ (5z 4 — 20z 3 + 3z 2 + 32z — 20)-f 
+ (20z 3 - 60z 2 + Gz-f 32) ^ -f (GOz 2 —120,0 + 6)^ 
+ (120s -120)^- 
Mithin ist