X a eine Grösse, welche nach ihrer Subtraction von X einen Theil 
des Absolutgliedes t bilden muss, weil sie kein x enthält. Da sie 
aber gleich Null ist, so wird durch die Subtraction derselben die 
Beschaffenheit der Function X nicht geändert; d. h. sie muss seihst 
durch x — x x theilbar sein. 
Ebenso nun wie die Function X durch x — x x theilbar ist, 
muss sie es auch sein durch x — x 2 , x — x 3 , u. s. w. Diese Binome 
sind also der Reihe nach auch Factoren des jedesmaligen Quotienten. 
Mittels fortgesetzter Division durch diese Binomialfactoren lässt 
sich also der Grad des Polynoms fortwährend erniedrigen in dem 
Grade, als es die Mannigfaltigkeit der Wurzeln x i} x 2 ,x ä u. s. w. 
gestattet. 
Hieraus ergibt sich denn, dass das Problem, gegebene alge 
braische' Gleichungen aufzulösen allgemein gefasst darin besteht, 
die möglichen Differenzen x — x 1} x — x 2 , u. s. w. zu bestimmen, 
durch welche das Polynom X oder die auf Null gebrachte Gleichung 
ohne Rest theilbar ist. Diese Differenzen müssen gleich Null sein 
und ihre Subtrahenden sind Wurzeln der Gleichung. 
Es möge noch gezeigt werden, wie die Division des Polynoms 
durch einen seiner Binomialfactoren bewerkstelligt wird. 
Das gegebene Polynom sei: 
X = Ax n + Bx"- 1 + Cx n ~ 2 H Sx + T = 0, 
und der Binomialfactor x — a. Nach ausgeführter Division wird 
man ein neues Polynom von der Form 
X x — ax 71 — 1 -j- l)X n 
-f- rx -f- S 
erhalten und einen Rest t, der kein x mehr enthält. 
Man hat alsdann: 
X — X x (x — a) -}- t. 
Nach ausgeführter Multiplication des zweiten Polynoms mit x 
erhält man: 
x n ~ l -j- c 
x n ~ 2 + • • • + s 
— ab 
— ar 
und nach Vergleichung dieses Polynoms mit dem gleichwerthigen 
X eine Reihe von Bestimmungsgleichungen für die unbestimmten 
Coefficienten a,b, c, . . . t, nämlich: 
Die