235 
§ 77. Reducenten. 
Xl = a = - , x 2 = aß = 1 , 
# 3 — a/3 2 = 4 , # 4 = a/3 3 = 16. 
2. Beispiel. Aufzulösen 
# 5 — 5# 4 -{- 10# 3 — 10# 2 -f- 5x — 1 = 0 . 
Wegen n — 5, t = — 1, & = 10 erhalten wir 
y 3 + // 2 — y = 10, 2/= 2, /3=1, a = 1. 
Die fünf Wurzeln sind demnach x 1 = x 2 — # 3 — x 4 = # 5 = 1. 
§77. Von der Reduction einer Gleichung, von der eine Relation 
zwischen zwei Wurzeln gegeben ist. 
Jede Gleichung fix) = 0 kann auf einen niedrigem Grad re- 
ducirt werden, wenn zwischen zwei ihrer Wurzeln, z. B. x i und # 2 , 
die allgemeine Relation 
^2 = 9W 
gegeben ist. 
Man setze cp (#) an die Stelle von x in fix) ein und entwickele 
das Polynom nach Potenzen von x. Dasselbe möge mit Fix) be 
zeichnet werden. Die beiden Functionen fix) und F(x) werden 
gleichzeitig gleich Null werden, wenn man # = # x setzt. Es müssen 
demnach die beiden Polynome einen gemeinschaftlichen Factor 
x — x x haben, welcher leicht gefunden wird. Man erhält sodann 
# x und mittels der Annahme x 2 = cp ixf) auch noch x 2 . Dadurch 
wird also die gegebene Gleichung um zwei Grade erniedrigt. 
1. Beispiel. f(x)=x i —7it; 3 -j- 17¿c 2 — 17#-f-6 = 0. Die 
Summe zweier Wurzeln ist 4. 
Zwischen zwei Wurzeln der gegebenen Gleichung gilt die 
Relation 
#2 = 4 — #J = Cpixf). 
Substituirt man diesen Werth in fix), so erhält man 
F(xf) — # x 4 — 9# x 3 -f- 29# x 2 — 39# x -f- 18 = 0 , 
und 
f(xf) = # x 4 — 7# x 3 + 17 # x 2 — 1 7# 1 + 6 = 0. 
Der gemeinschaftliche Factor ist # x — 1; folglich # x = 1 und 
#2 = 3. 
Diese und ähnliche Bedingungsgleichungen lassen sich meistens 
in Functionen der Coefficienten oder in Reducenten darstellen.