§ 79. Die Reducenten.
239
§79. Von den Reducenten der Gleichungen der ersten vier Grade.
Mit dem Namen „Reducenten“ werden gewisse Functionen
der Coefficienten a,b, c ... der Hauptgleichungen bezeichnet*), welche
verschwinden, wenn die Gleichungen sich auf einfachere Formen
reduciren lassen. Beispiele dieser Art sind bereits in § 75 benutzt
worden. Dieselben sind wol zuerst von Mailet**) zur Auflösung
der variirten oder linear transformirten Gleichungen mit Erfolg an
gewendet worden. Im Allgemeinen ist die Resolvente einer Gleichung
vom zweiten Grade eine lineare, einer Gleichung vom dritten Grade
eine quadratische, einer Gleichung vom vierten Grade eine kubische.
Findet jedoch zwischen den Coefficienten der vorgelegten Gleichung
eine der im Folgenden aufgestellten Relationen statt, so reduciren
sich die vollständigen quadratischen Gleichungen meistens auf rein
quadratische, die kubischen auf rein kubische, die biquadratischen
auf quadratische. • Eine wichtige Anwendung der Reducenten be
steht darin, dass man aus ihrer Beschaffenheit die gegenseitigen
Beziehungen der Wurzeln erkennen kann, und ferner dass, wenn
sie in die variirten Gleichungen eingeführt werden, sich aus ihren
Resolventen, mit andern Worten Auflösungsmethoden für die
Gleichungen verschiedener Grade herleiten lassen. Die Formen
derselben beziehen sich zunächst auf die vollständigen Gleichungen
von der gewöhnlichen Form
x n -f- ax n ~ 1 -f- bx n ~ 2 + • • • -f- sx -f- t — 0.
a. Reducenten der quadratischen Gleichungen:
(1) a — 0 ; (Geminante — 6r 2 )
(2) a 2 — 4A == 0 ; (Discriminante — _D 2 )
(3) a 4 - 4a 2 6 = 0 ;
(4) a r> - 6a 4 & + 9a 2 b 2 - 45 3 = 0.
b. Reducenten der kubischen Gleichungen:
(5) a = b — 0 5 (Kanonizante)
(6) a 2 — 3& = 0 ; (quadratische Variante)
*) Matthiessen, L., die algebraischen Methoden der Auflösung der
litteralen quadratischen, kubischen und biquadratischen Gleichungen. C. pag. 10.
Leipzig, 1866.
**) Mailet, Nova analysis aequationum secundi, tertii et quarti gradus.
Nov. Act. Upsal. III. 1780.
