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Erster Abschnitt. Allgemeine Eigenschaften. III. 
III. Von der Continuität der algebraischen Functionen. 
— Derivirte. 
§. 5. Die Derivirten. 
Lehrsatz. In jeder Gleichung X — 0 ist das Polynom X für 
alle endlichen und reellen Werthe von x eine continuirliehe 
Function. 
Angenommen es ändere sich die Hauptgrösse x um die Grösse d 
so wird X oder f(x) übergehen in 
f{x + d) = (x -{- d) n 4- a{x d) n ~ 1 -f- b {x + d) n ~ 2 -{-••• -j- t, 
oder nach Potenzen von d geordnet: 
fix 4~ d) — fix) 4- d 
[Gi 
+ (V) 
ax n ~ 2 4~ • 
• + s 
4- d 2 
[(:; 
K-’+CT 1 ) 
ax n ~ 3 4~ • 
•+r~ 
4- cf 
[p; 
^»-3 - r ’ 
ax n ~^ 4~ • 
•+2~ 
+ • 
. , . . 
. • • 
+ d n 
oder mit einer einfacheren Bezeichnung': 
O 
f{x + d) = fix) + y fix) + ~~ f" (x) + j-y-g f'"ix) 4 
Die Polynome fix), f'ix), u. s. w. heissen die derivirten Func 
tionen, auch wol kurz Derivirte oder Ableitungen der Haupt 
function fioc). 
Da nun für endliche und reelle Werthe von x die Derivirten 
weder imaginär noch unendlich werden, so ist auch die Aenderung 
fix 4- d) — fix), 
der Function für unendlich kleine Werthe von d selbst unendlich 
klein, d. h. die Function X kann sich nicht sprungweise (discon- 
tinuirlich) ändern, z. B. von einem endlich positiven Werthe zu 
einem endlich negativen übergehen. Findet dieser Uebergang statt, 
so kann es nur durch die Scheide dieser Zahlengebiete, also nur 
durch Null hindurch geschehen und zwar bei einem bestimmten 
Werthe von x, z. B. x = a, welcher offenbar eine Wurzel der 
Gleichung X = 0 sein muss'.