10 Erster Abschnitt. Allgemeine Eigenschaften. IV. 
Wenn f(jp) und f(q) verschiedene Vorzeichen haben, so können 
mehrere Wurzeln zwischen p und cq liegen. Jedoch kann dies nur 
eine ungerade Anzahl sein. Sind dagegen die Vorzeichen der Re 
sultate der Substitution, nämlich von f(p) und f(rq) gleich, so kann 
es zwischen p und q nur eine gerade Anzahl von Wurzeln geben. 
Jedes Polynom X von gerader Ordnung, dessen Wurzeln sämmt- 
lich einander gleich sind, muss für alle reellen Werthe von x stets 
dasselbe Vorzeichen behalten. 
Wenn sich kein reeller Werth für x angeben lässt, durch 
welchen das Polynom X zum Verschwinden gebracht wird, so ist 
X positiv für jeden beliebigen positiven oder negativen Werth 
von x. Umgekehrt wenn der Werth von X für alle möglichen 
reellen Werthe von x positiv bleibt, so besitzt die Gleichung X — 0 
keine reellen Wurzeln. 
Nach einem in § 6 bewiesenen Satze ist nämlich die Function 
X positiv für x V m -f~ 1 ; wo m den absoluten Werth des grössten 
Coefficienten des Polynoms bezeichnet. Liesse sich ein anderer 
Werth für x finden, der die Function negativ machte, so gäbe es 
offenbar zwischen beiden einen Wurzelwerth, was der Annahme 
widerspricht. Was die Umkehrung dieses Satzes betrifft, so ist be 
reits auseinander gesetzt worden, dass zur Existenz einer Wurzel 
erforderlich ist, dass die Function ihr Vorzeichen wechseln könne. 
§ 8. Von den Kennzeichen reeller Wurzeln. 
Lehrsatz. Jede Gleichung von ungerader Ordnung hat min 
destens eine reelle Wurzel, und ihr Vorzeichen ist dem des Ab 
solutgliedes t entgegengesetzt. 
Setzt man nämlich zuerst x — 0, so erhält man f(0) = -f-1-, 
wo 4 den absoluten Werth von t bezeichnet. Setzt man darauf 
x — + (m -f- 1), so erhält f(x) einen Werth, dessen Vorzeichen 
mit dem von x n übereinstimmt, also X — T. Möge also t po 
sitiv oder negativ sein, jedenfalls wird durch eine der Substitutionen 
— (m 1) oder (m -f- 1) das Vorzeichen der Function geändert. 
Ist das letzte Glied positiv, so wird X durch einen zwischen 0 
und — (m -f- 1) liegenden Werth von x zum Verschwinden ge 
bracht, und ist das letzte Glied negativ, durch einen zwischen 0 
und -j- (m -f- 1) liegenden Werth. Es liegt also zwischen 0 und 
-f- (m -j- 1) jedenfalls mindestens eine reelle Wurzel. 
Lehrsatz. Jede Gleichung von gerader Ordnung hat wenigstens