§ 8. Beeile Wurzeln. 
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zwei reelle Wurzeln von entgegengesetzten Vorzeichen, wenn das 
letzte Glied negativ ist. 
Denn setzt man zuerst wieder x = 0, so wird /‘(0) = — t l ; 
setzt man darauf x = -J- (m +1), so wird in beiden Fällen das 
erste Glied x n der Gleichung X — 0 positiv. Mithin liegt eine 
negativ reelle Wurzel zwischen 0 und — (m -f- 1) und eine positiv 
reelle Wurzel zwischen 0 und (m -j- 1). 
Lehrsatz. Jede Gleichung von gerader Ordnung, deren Ab 
solutglied positiv ist, ihre Coefficienten mögen reell oder auch zum 
Theil complex sein, hat wenigstens eine reelle oder complexe 
Wurzel. 
1. Beweis*). Es sei: 
X = x n -f- ax n ~~ 1 -f- boo n ~' 2 -j- • •. • -f- t = 0, 
worin n gerade und t positiv ist. 
Setzt man x = yl/—1, so geht das Polynom über in: 
— y n -j- a V- 1 -f bfy—1)»-2^»-2 -f- t = 0. 
Es ist nun allgemein: 
V—l =2> + Q.V— 1 , 
wo p und q reelle Grössen sind, unter denen eine auch Null sein 
kann; ferner ist jede Potenz von p -j- qY— 1 wieder von derselben 
Form. Führt man diese Ausdrücke in die ?/ Gleichung ein und 
kehrt sämmtliche Vorzeichen in die entgegengesetzten um, so er 
hält man: 
Y=y n — a{p x + q x V— 1 )r _1 — HP2 + f hV— l )y n ~* t = 0. 
Diese Gleichung ist von gerader Ordnung und das Absolutglied 
wesentlich negativ. 
Man setze nun als erste Substitution in der Gleichung Y — 0 
die Hauptgrösse y — u -f- vY— 1, wo u und v positiv sein mögen, 
so wird das Polynom Y: 
U n -j- U n ~~ l -f- u n ~ 2 + •••• + s l u -f- tp 
+ (a- 2 u n ~~ l -f b 2 u n ~ 2 + f- s 2 u + t 2 ) ]/— 1 
= A + B . 
Hier sind die neuen Coefficienten Functionen von a, b, c, . . . . 
sowie von p x , q 1} p 2 , q 2 , u. s. w. endlich noch von n und v. Die 
*) Beweis von A. Burg. Jahrb. des k. k. polyt. Inst. Bd. XVII. Ein 
scharfsinniger Beweis des Satzes von Laplace wird in § 48 mitgetheilt werden.