\2 Erster Abschnitt. Allgemeine Eigenschaften. IV. 
Coefficienten sind sämmtlich endlich, so lange die letzteren Grössen 
es bleiben. Darunter ist: 
ct 2 = nv — aq x . 
Demnach ist es möglich, v immer so zu wählen, dass das erste 
Glied a 2 u n ~ x positiv ausfällt. 
Da das erste Glied des reellen Theiles A, nämlich u n wesent 
lich positiv ist, so kann man u so gross annehmen, dass die beiden 
ersten Glieder von A und B positiv werden und zwar grösser als 
die Summe aller übrigen Glieder. Daraus folgt, dass durch eine 
geeignete Substitution y — u v ]/— 1 das Polynom 
Y= A + BV^l 
positiv gemacht werden kann. 
Setzt man nun als zweite Substitution in Y die Hauptgrösse 
y = 0, so wird das Polynom Y = — t, also negativ. Nun ist Y 
eine continuirliche Function, weil A und B es sind; also liegt 
zwischen y = 0 und y = u -f- v]/—1 wenigstens eine Wurzel von 
der Form u i -f- v x ]/ — 1 , wobei n x < u und v x < v ist. 
Substituirt man ferner y = u x + ®ih—i in der Annahme: 
x*= y y^i = y{p + Q.V— 1), 
so erhält man: 
x = («j + v x ]/— 1 )(p + qV—^)_ 
= ( u iP ~ GV) + («i <i + v x p)Y— 1 
= a+ßY—1 , 
wo a und ß reelle Grössen sind. Dies ist also eine wirklich vor 
handene Wurzelform der angenommenen Gleichung. Ist ß = 0, 
so ist die Wurzel reell, ist a — 0, so ist sie imaginär; sind endlich 
a und ß von Null verschieden, so ist die Wurzel complex. 
2. Beweis*). Setzt man in die gegebene Gleichung 
x = a -f- ß Y—1 , 
so lässt sich das Polynom auf die Form 
X = A -f B V— l 
bringen. Es lässt sich zeigen, dass stets reelle Werthe für a 
und ß möglich sind, für welche A und B verschwinden, so dass 
a + ßV-l eine Wurzel der Gleichung ist. Der Nachweis setzt 
nun die Kenntniss einiger Theoreme der Differentialrechnung voraus. 
*) Man sehe Burg, Compendium der koberen Matkem. §. 708. Anm.