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Erster Abschnitt. Allgemeine Eigenschaften. IV.
X = A-\-BY^1 = 0,
dass es einen Werth a -j- ß ]/— 1 für x gibt, welcher der Gleichung
X = 0 Genüge leistet oder eine Wurzel derselben ist.
Aus den drei vorangehenden Lehrsätzen folgt endlich, dass
jede algebraische Gleichung der angenommenen Form wenigstens
eine Wurzel hat. Dies Theorem führt uns zu zwei wichtigen
Theoremen der höheren Algebra, welche im folgenden Paragraphen
bewiesen werden sollen.
§ 9. Von der Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung.
Lehrsatz. Jede Gleichung vom n ten Grade hat mindestens
n Wurzeln.
Sei a die Wurzel, welche der gegebenen Gleichung
X — x n -f- ax n ~ x -f- bx n ~' 2 -f- ' • * ■+■ t = 0
nothwendig zukommt, so ist ¿c — a ein Factor derselben, also:
X=(x- a)X x
= (x — a) (x n ~ x -f- % % n ~- 2 + \ x n ~ 3 -( f- Sj_) = 0.
Diese Gleichung wird aber ausser durch x — a = 0 erfüllt durch
die andere:
X 1 = x n ~ x -f- a 1 x n —‘ i -f- b 1 x n ~ 3 + • • • + s t = 0 .
Ist ß die Wurzel, welche dieser Gleichung nothwendig zukommt,
so ist:
X 1 — (pc — ß) X 2
= (x — ß) (x n ~ 2 -f- a 2 x n ~ 3 -j- Ix, x n ~ x -\ r 2 ) = 0
und X = (oc — u)(x — ß)X 2 = 0 .
Fährt man in die Schlussfolgerung fort, so kommt man durch
stetige Erniedrigung der Ordnung des Polynoms auf einen Quo
tienten i, welcher ein Binom ist von der Form x -f- a n — 1; so
dass man erhält:
X n - 2 = (x — a) (x + ein-1) = 0
und
X = (x — a)(x — ß) • • • • (x — a)(x + a„_i) = 0 .
Der letzte Quotient liefert also die Wurzel x — — = r. Da
nun das Polynom für jede der Substitutionen x = a, ß, y • • • r
verschwindet, so " folgt daraus, dass die Gleichung Avenigstens
n Wurzeln hat.