Man kann nun auch die Wurzel der vorgelegten Gleichung in 
Ausdrücken von und z 2 wiedergeben; es ist 
Yaz 2 3 — cl 4-Vir az x 3 — d 
Man erhält aus dieser allgemeinen Wurzelform die Werthe 
der einzelnen Wurzeln x t ,x 2 ,x 3 , wenn man nacheinander 1, J 17 J 2 
an die Stelle von)/1 treten lässt. 
Salmon beweist das Theorem, dass eine binäre kubische Form 
immer auf die Summe von zwei kubischen Ausdrücken 
X 3 + F 3 oder AX 3 + BY 3 
reducirbar sei auf folgende Art (1. c. § 166). 
Durch die linearen Transformationen 
x — ^X + hY, y = a 2 X + ß 2 Y 
wird 
ax 3 3bx 2 y 4" Sexy- 4" dy 3 
= AX 3 + 3BX 2 Y + 3CX Y 2 + DY 3 . 
Nach der Definition einer Covariante und für die Hesse’sche 
speciell ist 
(ac — b 2 )x 2 4" (ad — bc)xy 4" (fid — c 2 )y 2 
= (AC - JB 2 )X 2 4- (AB — BC)XY+ (BB — C 2 ) Y 2 . 
Wenn nun B und C in der Transformirten verschwinden, so 
nimmt diese Covariante die einfachste Form 
ABXY 
an und man erkennt leicht, dass für X und Y die beiden linearen 
Factoren zu wählen sein werden, in welche die Covariante sich 
zerlegen lässt. Nach dem Früheren ist nämlich 
'3,2 = — y « 2 [<4i + Ji%2 + J 2 x a) x + (>2^3 + JiVi + Xs)y] 
X [(#1 4" + J\ X %)X 4“ (x 2 X 3 4" J 2 X ä X t 4“ Y 1 x L x 2 )y]. 
Diese Factoren werden also durch Auflösung einer quadrati 
schen Gleichung gefunden. Vergleicht man dann die vorgelegte 
kubische Form mit 
AX 3 BY 3 , 
so erhält man A und B durch Vergleichung homologer Coeffi- 
cienten. Ist nämlich