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Die Discriminante der quadratischen Covariante ; nämlich 
(ac — b 2 ) (ibd - c 2 ) — j (ad - bcf = - D s , 
ist nur durch das Vorzeichen und einen constanten Factor von der der 
kubischen Form seihst verschieden. Ist die letztere positiv, so hat 
die Covariante zwei reelle Factoren und die kubische Form nur 
einen reellen und zwei complexe Factoren; ist sie negativ, so hat 
die Covariante complexe und die kubische Form lauter reelle 
Factoren. Wenn die Discriminante verschwindet, so haben beide 
zwei gleiche Factoren und es lässt sich leicht nachweisen, dass die 
Ilesse’sche Form von X 2 Y gleich X 2 ist. Es ergibt sich übrigens 
aus der Bildung der quadratischen Covariante für x 2 rp leicht, dass 
ein quadratischer Factor einer binären Form auch ein quadratischer 
Factor ihrer Hesse’sehen Covariante ist. 
Endlich ist zu beachten, dass eine kubische binäre Form mit einem 
quadratischen Factor nicht auf die obige kanonische Form reducir- 
bar ist. Man muss für den Fall eine andere wählen, z. B. die 
Form X 2 Y. 
§ 194. Methode der Auflösung einer kubischen Gleichung mittels 
einer Transformation zweiter Ordnung*). 
Die folgende Methode gründet sich auf die Bemerkung, dass 
die Summe der beiden linearen Factoren der quadratischen Co 
variante der Gleichung 
(a, b, c, d) (x, l) 3 = 0 
einen linearen Factor der kubischen Covariante gibt. Nach Cay ley 
ist nämlich 
C 3 ,2==cp.t=i[( sc i + Jl X 2 + + ( x 2 X 3 + J x X d X 1 + J&x^tj] 
und 
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X-[(2x 2 
x i)% + (2# 3 aq — x 1 x 2 — x g x 3 )rj] 
x - 2 )£ + (^ X l X -2 — 00 2 X. ¿ — XsXjrj] . 
*) Man vergl. Cayley, Note sur la transformation de Tsckirnhausen. 
Crelle’s Journ; LVIII. S. 259. 18G1; sowie § 189. 
X o [ Oi + J~> x 2 + J i x s) b + ( X 2 X i + X ä x i + Jx x i x >) >/] 
¿ C3.3 = w [(2^ — x 2 — ¡r 3 )g -f (2x 2 x 3 — x 3 x 1 — ^x 2 )y]